Question

Имеются два сосуда, в первом из них 1 л воды, второй сосуд пустой. Последовательно проводятся переливания из первого сосуда во второй, из второго в первый и т. д., причем доля отливаемой воды составляет последовательно 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. от количества воды в сосуде, из которого вода отливается. Сколько воды будет в сосудах после 2007 переливаний?

Answer 1

«Просчитав» несколько первых переливаний, нетрудно обнаружить, что после первого, третьего, пятого переливаний в обоих сосудах будет по ½ л воды. Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером. Если после переливания с нечетным номером 2k-1 в сосудах было по ½ л, то при следующем переливании из второго сосуда берется 1/(2k + 1) часть, так что в первом сосуде оказывается — 1/2 + (2/2(2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1) (л). При следующем переливании, имеющем номер 2k + 1, из него берется 1/(2k + 2) часть и остается (k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 (л). Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в сосудах будет  по ½   л воды.

Answer 2

Задача о переливаниях воды

Дано: - В первом сосуде имеется 1 литр воды. - Второй сосуд пустой. - Проводятся последовательные переливания из первого сосуда во второй, из второго в первый и так далее. - Доля отливаемой воды составляет последовательно 1/2, 1/3, 1/4 и т.д. от количества воды в сосуде, из которого вода отливается.

Вопрос: Сколько воды будет в сосудах после 2007 переливаний?

Решение:

Для решения данной задачи, необходимо определить закономерность изменения количества воды в сосудах после каждого переливания.

После первого переливания из первого сосуда во второй, в первом сосуде останется 1 - 1/2 = 1/2 литра воды, а во втором сосуде будет 1/2 литра воды.

После второго переливания из второго сосуда в первый, в первом сосуде будет 1/2 + 1/3 = 5/6 литра воды