Question

Существуют ли четыре попарно различных натуральных числа a,b,c,d такие,что (a+c)*(b+d)=(b+c)*(a+d)

Answer 1

Ответ:

$(a + c)(b + d) = (b + c)(a + d) \\ ab + cb + ad + cd = ab + ac + bd + cd \\ cb + ad = ac + bd \\ ac - bc = ad - bd \\ (a - b)c = (a - b)d \\ c = d$

Таким образом, такое равенство возможно, только если с = d. То есть на вопрос задания ответ "нет".

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение:

\[(a+c) \cdot (b+d) = (b+c) \cdot (a+d)\]

Распишем его:

\[ab + ad + bc + cd = ab + ac + bd + cd\]

Теперь давайте упростим уравнение, вычитая \(ab\) и \(cd\) с обеих сторон:

\[ad + bc = ac + bd\]

Теперь сгруппируем слагаемые:

\[ad - ac = bd - bc\]

Вынесем общий множитель:

\[a(d - c) = b(d - c)\]

Теперь мы можем поделить обе стороны на \((d - c)\), но при этом важно убедиться, что \(d\) не равно \(c\), чтобы не делить на ноль. Если \(d = c\), то уравнение не имеет решений.

Если \(d \neq c\), то мы можем сократить общий множитель:

\[a = b\]

Таким образом, если существуют четыре попарно различных натуральных числа \(a, b, c, d\), удовлетворяющих данному уравнению, то они должны быть такими, что \(a = b\), и \(d \neq c\).

Пример возможных чисел: \(a = b\), \(c = 1\), \(d = 2\). В этом случае уравнение становится верным:

\[(a + 1) \cdot (b + 2) = (b + 1) \cdot (a + 2)\]