Question

Докажите тождество 1-sin t / cos t = cos t /1 + sin t

Answer 1

$\frac{1-sint}{cost}=\frac{cost}{1+sint}\\ \frac{1-sint}{cost}=\frac{cost(1-sint)}{1-sin^2t}\\ \frac{1-sint}{cost}=\frac{cost(1-sint)}{cos^2t}\\ \frac{1-sint}{cost}=\frac{1-sint}{cost}$

Answer 2

Данное тождество можно доказать, используя тригонометрические тождества и преобразования. Давайте начнем:

1. Начнем с левой стороны тождества: 1 - sin(t) / cos(t).

2. Разделим числитель на знаменатель: (cos(t) - sin(t)) / cos(t).

3. Разложим дробь на две отдельные дроби: cos(t) / cos(t) - sin(t) / cos(t).

4. Заменим cos(t) / cos(t) на 1 и упростим: 1 - sin(t) / cos(t).

5. Теперь рассмотрим правую сторону тождества: cos(t) / (1 + sin(t)).

6. Умножим числитель и знаменатель на (1 - sin(t)): cos(t) * (1 - sin(t)) / ((1 + sin(t)) * (1 - sin(t))).

7. Упростим выражение: cos(t) - cos(t) * sin(t) / (1 - sin^2(t)).

8. Используем тригонометрическое тождество sin^2(t) + cos^2(t) = 1, чтобы заменить 1 - sin^2(t) на cos^2(t): cos(t) - cos(t) * sin(t) / cos^2(t).

9. Сократим cos(t) в числителе и знаменателе: 1 - sin(t) / cos(t).

Таким образом, мы получили, что левая сторона тождества (1 - sin(t) / cos(t)) равна правой стороне тождества (cos(t) / (1 + sin(t))).

Таким образом, тождество 1 - sin(t) / cos(t) = cos(t) / (1 + sin(t)) доказано.