Question

Найдите наименьшее значение выражения (x^2+10x+29)^2+17

Answer 1

Выделим полный квадрат:
(x² + 10x + 29)² + 17 = (x² + 10x + 25 + 4)² + 17 = ((x + 5)² + 4)² + 17
(x + 5)² ≥ 0 при всех х, значит, наименьшее значение выражения (x + 5)² равно 0.
(0 + 4)² + 17 = 16 + 17 = 33.
Ответ: 33. 

Answer 2

$(x^2+10x+25-25+29)^2+17=((x+5)^2+4)^2+17\\x^2\geq0\\(x+5)^2\geq0\\(x+5)^2=0-\mathtt{min}\\(0+4)^2+17=16+17=\mathbf{33}$

Answer 3

Для нахождения наименьшего значения выражения $(x^2 + 10x + 29)^2 + 17$, нужно найти минимальное значение квадрата выражения $x^2 + 10x + 29$ и добавить 17 к этому значению.

Давайте разберемся по шагам:

1. Найдем минимальное значение квадрата выражения $x^2 + 10x + 29$. Квадратное выражение всегда будет положительным или равным нулю, поскольку квадрат любого числа всегда положительный или ноль. Значит, минимальное значение квадрата выражения будет равно нулю, когда $x^2 + 10x + 29 = 0$.

2. Решим уравнение $x^2 + 10x + 29 = 0$ для нахождения значения $x$. Мы можем использовать квадратное уравнение или завершение квадратного трехчлена. Оставим его в квадратном уравнении форме и решим его с помощью дискриминанта:

Дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a = 1$, $b = 10$ и $c = 29$.

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 29 = 100 - 116 = -16$

Так как дискриминант отрицательный, уравнение $x^2 + 10x + 29 = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что квадратное выражение всегда положительно и его минимальное значение равно нулю.

3. Теперь добавим 17 к минимальному значению квадратного выражения: $0 + 17 = 17$.

Таким образом, наименьшее значение выражения $(x^2 + 10x + 29)^2 + 17$ равно 17.