Question

Помогите пожалуйста: sin4x-cos4x=sgrt2

Answer 1

sin4x*cos4x=корень из 2.
1/2(2sin4x*cos4x)=корень из 2.
1/2sin8x=корень из 2.
sin8x=2 корень из 2.
Нет корней, так как -1<=sin8x<=1. 2 корень из 2>1
Ответ: Нет корней.
Если помог, то поставь "спасибо", буду благодарен.)

Answer 2

Конечно, давайте начнем с тождества для разности квадратов:

\(\sin^2 \theta - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta - (1 - \sin^2 \theta) = 2\sin^2 \theta - 1 = \sin 2\theta\)

Теперь вспомним формулу двойного угла для синуса:

\(\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta\)

Применим это к нашему уравнению, где \(2\theta = 4x\), следовательно, \(\theta = 2x\):

\(2\sin^2 2x - 1 = \sqrt{2}\)

Теперь добавим 1 к обеим сторонам:

\(2\sin^2 2x = 1 + \sqrt{2}\)

Разделим обе стороны на 2:

\(\sin^2 2x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}\)

Теперь извлечем квадратный корень:

\(\sin 2x = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}}\)

Далее, мы знаем, что \(\sin 45^\circ = \sqrt{\frac{1}{2}}\). Следовательно, \(\sin 2x = \sin 45^\circ\).

Но помните, что синус - периодическая функция, и у нее есть бесконечное количество значений между \(0\) и \(360^\circ\).

Таким образом, у нас есть несколько решений для \(2x\):

\(2x = 45^\circ + 360^\circ \cdot n\), где \(n\) - целое число.

Также можно записать:

\(x = \frac{45^\circ}{2} + 180^\circ \cdot n\), где \(n\) - целое число.

Так что решение данного уравнения будет включать в себя значения \(x\), которые можно выразить как \(x = 22.5^\circ, 112.5^\circ, 202.5^\circ, 292.5^\circ\) и так далее, добавляя к предыдущему результату \(90^\circ\).