Question

Sin2x=-1 решите пожалуйста

Answer 1

2x = - pi/2 + 2pik
x = - pi/4 + pik, k ∈ Z
--------------------

Answer 2

Уравнение \(\sin(2x) = -1\) решается следующим образом. Сначала мы используем тригонометрические тождества, чтобы выразить \(\sin(2x)\) через базовую тригонометрическую функцию. Для этого воспользуемся тождеством для удвоенного угла:

\[\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x).\]

Теперь мы можем поставить уравнение в следующий вид:

\[2\sin(x)\cos(x) = -1.\]

Теперь рассмотрим два случая:

1. Если \(\sin(x) = 0\), тогда у нас есть два варианта: \(x = k\pi\), где \(k\) - целое число.

2. Если \(\sin(x) \neq 0\), тогда мы можем разделить обе стороны уравнения на \(\sin(x)\):

\[2\cos(x) = -\frac{1}{\sin(x)}.\]

Теперь используем тригонометрическое тождество \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\), чтобы выразить \(\cos(x)\) через \(\sin(x)\):

\[2\sqrt{1-\sin^2(x)} = -\frac{1}{\sin(x)}.\]

Теперь возводим обе стороны в квадрат:

\[4(1-\sin^2(x)) = \frac{1}{\sin^2(x)}.\]

Решим это уравнение для \(\sin(x)\):

\[4 - 4\sin^2(x) = \frac{1}{\sin^2(x)}.\]

Умножим обе стороны на \(\sin^2(x)\):

\[4\sin^2(x) - 4\sin^4(x) = 1.\]

Теперь получившееся уравнение является квадратным относительно \(\sin^2(x)\):

\[4\sin^4(x) - 4\sin^2(x) + 1 = 0.\]

Обозначим \(\sin^2(x)\) за \(t\):

\[4t^2 - 4t + 1 = 0.\]

Решим это квадратное уравнение относительно \(t\). Мы видим, что у него есть единственный корень \(t = \frac{1}{2}\). Таким образом, \(\sin^2(x) = \frac{1}{2}\).

Теперь рассмотрим два случая для \(\sin(x)\):

1. Если \(\sin(x) = \sqrt{\frac{1}{2}}\), то \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\), где \(k\) - целое число. 2. Если \(\sin(x) = -\sqrt{\frac{1}{2}}\), то \(x = -\frac{\pi}{4} + k\pi\), где \(k\) - целое число.

Таким образом, уравнение \(\sin(2x) = -1\) имеет решения:

\[x = k\pi, \quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad x = -\frac{\pi}{4} + k\pi,\]

где \(k\) - целое число.