Question

Докажите,что на клетчатой бумаге треугольник с вершинами в узлах сетки не может иметь площадь,которая в единицах измерения площади ,равных площади одной клетки,записывается в виде несократимой дроби со знаменателем 4

Answer 1

Вот решение. Пусть есть такой треугольник. Тогда можно вокруг него дорисовать прямоугольник так. (Сетку дорисуйте сами так, чтобы вешины треуг. были в точках пересечения линий клеток. Нарисуйте на клетчатой бумаге)
 Площадь клетки есть 1(единица).
Тогда площадь нашего треугольника будет "площадь прямоугольника минус площади дополнительных треугольников". Площадь прямоугольника - натуральное число.
 Площадь любого доп. треугольника будет "основание * высоту /2"
И если либо основание, либо высота - четное, тогда площадь - натуральное. Если нечетное- тогда в знаменателе 2.
А сумма, разность натуральных с дробными со знаменателем 2 дает дробное со знаменателем 2, а никак не 4. Вот и все.

Answer 2

Не все. Надо рассмотреть два случая. Вокруг треугольника можно описать прямоугольник со сторонами параллельными осям координат( границам клеток). Тогда площадь прямоугольника минус площади  прямоугольных треугольников - площадь нашего треугольника. Второй случай , когда этого сделать нельзя. Тогда прямоугольник надо провести так, чтобы большая сторона треугольника была диагональю ( вершины треугольника в углах прямоугольника), третья вершина внутри прямоугольника.
Тогда из площади большого прямоугольника надо вычесть три треугольника( прямоугольных) и один прямоугольник. Но вывод, естественно, тот же.

Answer 3

Невозможность треугольника на клетчатой бумаге иметь площадь, равную площади одной клетки

На клетчатой бумаге треугольник с вершинами в узлах сетки не может иметь площадь, которая в единицах измерения площади равна площади одной клетки и записывается в виде несократимой дроби со знаменателем 4. Для доказательства этого факта, рассмотрим следующие аргументы:

1. Площадь треугольника на клетчатой бумаге всегда будет представлять собой целое число клеток, так как каждая клетка является минимальной единицей площади на такой бумаге.

2. Если площадь треугольника равна площади одной клетки, то это означает, что треугольник полностью заполняет одну клетку и не выходит за ее границы.

3. Рассмотрим возможные варианты расположения треугольника вокруг одной клетки. Всего существует 4 возможных варианта, так как треугольник может быть повернут вокруг центра клетки на 0, 90, 180 или 270 градусов.

4. В каждом из этих вариантов треугольник либо не полностью заполняет клетку, либо выходит за ее границы. Ни в одном из вариантов треугольник не может быть точно равен площади одной клетки.

Таким образом, на клетчатой бумаге треугольник с вершинами в узлах сетки не может иметь площадь, которая в единицах измерения площади равна площади одной клетки и записывается в виде несократимой дроби со знаменателем 4.