Question

Используя метод введения новой переменной,решите уравнение: 1) (x^2+3x+1)(x^2+3x+3)=-1 2) (x^2-4x+1)(x^2-4x+2)=12

Answer 1

1)
(x²+3x+1)*(x²+3x+3)=-1
x²+3x+1=t  ⇒
t*(t+2)=-1
t²+2t+1=0
(t+1)²=0
t+1=0 
t=-1
x²+3x+1=-1
x²+3x+2=0  D=1
x₁=-2   x₂=-1
2)
(x²-4x+1)*(x²-4x+2)=12
x²-4x+1=t
t*(t+1)=12
t²+t-12=0  D=49
t₁=3   t₂=-4
x²-4x+1=3   x²-4x-2=0   D=24  x₁=2+√6   x₂=2-√6
x²-4x+1=-4  x²-4x+5=0  D=-4  ⇒  Уравнение решения не имеет.
Ответ: х₁=2+√6  х₂=2-√6.

Answer 2

Для решения уравнений, используя метод введения новой переменной, мы вводим новую переменную, обозначим ее за t. Затем мы выражаем переменную x через t и подставляем это выражение в исходное уравнение. После этого мы решаем полученное уравнение относительно t и находим значения t. Затем, используя найденные значения t, мы находим значения x.

Рассмотрим первое уравнение: (x^2+3x+1)(x^2+3x+3)=-1

Введем новую переменную t = x^2 + 3x. Тогда уравнение примет вид: (t+1)(t+3)=-1

Раскроем скобки: t^2 + 4t + 3 = -1

Перенесем все в одну сторону: t^2 + 4t + 4 = 0

Решим полученное квадратное уравнение: (t+2)^2 = 0

Из этого уравнения получаем, что t = -2.

Теперь найдем значения x. Подставляем найденное значение t в уравнение t = x^2 + 3x:

-2 = x^2 + 3x

Переносим все в одну сторону: x^2 + 3x + 2 = 0

Разлагаем полученное квадратное уравнение на множители: (x+1)(x+2) = 0

Из этого уравнения получаем два решения: x = -1 и x = -2.

Таким образом, решением исходного уравнения являются значения x = -1 и x = -2.

Аналогично решим второе уравнение: (x^2-4x+1)(x^2-4x+2)=12

Введем новую переменную t = x^2 - 4x. Тогда уравнение примет вид: (t+1)(t+2)=12

Раскроем скобки: t^2 + 3t + 2 = 12

Перенесем все в одну сторону: t^2 + 3t - 10 = 0

Решим полученное квадратное уравнение: (t+5)(t-2) = 0

Из этого уравнения получаем два значения t: t = -5 и t = 2.

Теперь найдем значения x. Подставляем найденные значения t в уравнение t = x^2 - 4x:

-5 = x^2 - 4x и 2 = x^2 - 4x

Переносим все в одну сторону:

x^2 - 4x + 5 = 0 и x^2 - 4x - 2 = 0

Однако эти квадратные уравнения не имеют рациональных корней, поэтому мы не можем найти точные значения x.

Таким образом, решением второго уравнения являются все значения x, которые удовлетворяют уравнению x^2 - 4x + 5 = 0 и x^2 - 4x - 2 = 0.

Answer 3

Для решения уравнений данного вида, можно воспользоваться методом введения новой переменной. Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

Уравнение 1:

(1 + (x^2 + 3x + 1))(x^2 + 3x + 3) = -1

Для упрощения выражения, введем новую переменную u = x^2 + 3x + 1. Тогда уравнение примет вид:

(1 + u)(u + 2) = -1

Раскроем скобки:

u^2 + 3u + 2 = -1

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

u^2 + 3u + 2 + 1 = 0

u^2 + 3u + 3 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение с переменной u. Мы можем решить его, используя квадратное уравнение:

u = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 1, b = 3 и c = 3. Подставим значения и решим:

u = (-3 ± √(3^2 - 4*1*3)) / (2*1)

u = (-3 ± √(9 - 12)) / 2

u = (-3 ± √(-3)) / 2

Корни уравнения являются комплексными числами, так как у нас получился отрицательный дискриминант. Таким образом, уравнение не имеет решений.

Уравнение 2:

(1 + (x^2 - 4x + 1))(x^2 - 4x + 2) = 12

Аналогично первому уравнению, введем новую переменную u = x^2 - 4x + 1. Тогда уравнение примет вид:

(1 + u)(u + 2) = 12

Раскроем скобки:

u^2 - 2u + 2 = 12

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

u^2 - 2u + 2 - 12 = 0

u^2 - 2u - 10 = 0

Опять же, у нас есть квадратное уравнение с переменной u. Решим его, используя квадратное уравнение:

u = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 1, b = -2 и c = -10. Подставим значения и решим:

u = (2 ± √((-2)^2 - 4*1*(-10))) / (2*1)

u = (2 ± √(4 + 40)) / 2

u = (2 ± √44) / 2

u = (2 ± 2√11) / 2

u = 1 ± √11

Теперь найдем значения переменной x, используя выражение для u:

u = x^2 - 4x + 1

x^2 - 4x + 1 = 1 ± √11

x^2 - 4x = ± √11

x(x - 4) = ± √11

В итоге, получаем два уравнения:

1) x(x - 4) = √11

2) x(x - 4) = -√11

Для решения этих уравнений, можно воспользоваться методом факторизации или квадратным уравнением. Подставляя значения x, полученные из этих уравнений, обратно в исходные уравнения, можно проверить, являются ли они решениями.

Пожалуйста, уточните, какие значения хотите получить для решения этих уравнений.