Question

Алгоритм решения показательного уравнения с иррациональностью в основании. 

Answer 1

$\star \quad \sqrt{5+\sqrt{24}}\cdot \sqrt{5-\sqrt{24}}=\sqrt{25-24}=1\; \; \Rightarrow \\\\\sqrt{5-\sqrt{24}}=\frac{1}{\sqrt{5+\sqrt{24}}}\\\\a=\sqrt{5+\sqrt{24}}\; \; \Rightarrow \; \; \sqrt{5-\sqrt{24}}=\frac{1}{a}\; \; \star \\\\\\(\sqrt{5+\sqrt{24}})^{x}+(\sqrt{5-\sqrt{24}})^{x}=10\\\\a^{x}+\frac{1}{a^{x}}-10=0\\\\ \frac{(a^{x})^2-10\cdot a^{x}+1}{a^{x}}=0 \; ,\\\\ t=a^{x}\ \textgreater \ 0\; ,\; \; \; \frac{t^2-10t+1}{t}=0 \; \to \; t^2-10t+1=0\; ,\; t\ne 0\\\\D/4=25-1=24\; \\\\ t_1=5-\sqrt{24}=5-2\sqrt{6}>0\; ,$

$t_2=5+2\sqrt6\ \textgreater \ 0$

$1)\; \; a^{x}=(\sqrt{5+\sqrt{24}})^{x}=5-2\sqrt6\; \to \; x_1=log_{\sqrt{5+\sqrt{24}}}(5-2\sqrt6) ,$

$x_1=log_{\sqrt{5+\sqrt{24}}}\left ( \frac{1}{\sqrt{5+\sqrt{24}}} \right )^2=log_{\sqrt{5+\sqrt{24}}}(\sqrt{5+\sqrt{24}})^{-2}=-2$

$2)\; \; a^{x}=(\sqrt{5+\sqrt{24}})^{x}=5+2\sqrt6\; \to \; x_2=log_{\sqrt{5+\sqrt{24}}}(5+2\sqrt6)\\\\x_2=2\cdot log_{5+\sqrt{24}}(5+\sqrt{24})=5\cdot 1=2$

$Otvet;\; \; x_1=-2,\; x_2=2\; .$

Answer 2

Алгоритм решения показательного уравнения с иррациональностью в основании может быть следующим:

1. Записываем уравнение в виде: a^x = b, где a - иррациональное основание, x - неизвестная, b - известное число.

2. Применяем логарифмы к обеим частям уравнения. Если основание логарифма совпадает с основанием уравнения, то логарифмирование приведет к упрощению уравнения. Если основание логарифма не совпадает с основанием уравнения, то применяется свойство логарифма: log_a(b) = log_c(b)/log_c(a), где c - произвольное основание.

3. Полученное уравнение решаем относительно неизвестной.

4. Если в результате получается более сложное уравнение, то используем методы алгебры и анализа для его решения.

5. Проверяем полученное решение подстановкой в исходное уравнение.

Пример:

Решим уравнение sqrt(x) = 2.

1. Записываем уравнение в виде: (sqrt(x))^2 = 2^2.

2. Применяем логарифмы к обеим частям уравнения: log((sqrt(x))^2) = log(2^2).

3. Применяем свойство логарифма: 2*log(sqrt(x)) = 2*log(2).

4. Упрощаем уравнение: log(sqrt(x)) = log(2).

5. Используем свойство логарифма: sqrt(x) = 2.

6. Возводим обе части уравнения в квадрат: (sqrt(x))^2 = 2^2.

7. Упрощаем уравнение: x = 4.

8. Проверяем решение: sqrt(4) = 2, что верно.

Таким образом, решением уравнения sqrt(x) = 2 является x = 4.