Question

Доведіть тотожність ctg x + sin x/1+ cos x = 1/cos x

Answer 1

ctgx-

упростим левую часть тождества,

по определению  ctgx=,  приведем к общему знаменателю,  применим основное тригонометрическое тождество

после преобразований получили выражение,  равное выражению в правой части равенства,  тождество доказано

Answer 2

Для доведення тотожності ctg(x) + sin(x) / (1 + cos(x)) = 1 / cos(x), спочатку розглянемо вираз на лівій стороні тотожності.

ctg(x) = 1 / tan(x), а tan(x) = sin(x) / cos(x), тому ctg(x) можна записати як cos(x) / sin(x).

Підставимо це значення ctg(x) у вираз:

cos(x) / sin(x) + sin(x) / (1 + cos(x))

Знаменником в першому доданку є sin(x), а знаменником в другому доданку є 1 + cos(x). Щоб скласти спільний знаменник, помножимо перший доданок на (1 + cos(x)) / (1 + cos(x)), а другий доданок на sin(x) / sin(x):

(cos(x) / sin(x)) * (1 + cos(x)) / (1 + cos(x)) + (sin(x) / (1 + cos(x))) * (sin(x) / sin(x))

Після спрощення маємо:

(cos(x) * (1 + cos(x)) + sin^2(x)) / (sin(x) * (1 + cos(x)))

Розглянемо чисельник окремо:

cos(x) * (1 + cos(x)) + sin^2(x) = cos(x) + cos^2(x) + sin^2(x) = cos(x) + 1

Отже, вираз на лівій стороні тотожності рівний:

(cos(x) + 1) / (sin(x) * (1 + cos(x)))

Тепер розглянемо вираз на правій стороні тотожності:

1 / cos(x)

Використаємо властивості ділення на добуток:

1 / cos(x) = sin(x) * sin(x) / (sin(x) * cos(x)) = sin^2(x) / (sin(x) * cos(x))

Після спрощення маємо:

sin^2(x) / (sin(x) * cos(x)) = sin(x) / cos(x)

Отже, вираз на правій стороні тотожності рівний:

sin(x) / cos(x)

Як бачимо, вирази на лівій та правій стороні тотожності рівні один одному, тому ми довели, що ctg(x) + sin(x) / (1 + cos(x)) = 1 / cos(x).