Question

Найти первообразною: f(x)=sin(x/2)-cos(x)+1/sin^2x

Answer 1

F(x) = -2cos(x/2) - sin(x) - ctg(x) + const

Answer 2

Для того, чтобы найти первообразную функции f(x)=sin(x/2)-cos(x)+1/sin^2x, нужно использовать свойства интеграла и некоторые тригонометрические формулы. Сначала разобьем функцию на сумму трех слагаемых:

f(x)=sin(x/2)-cos(x)+1/sin^2x = sin(x/2) - cos(x) + csc^2(x)

Затем найдем первообразную каждого слагаемого по отдельности. Для этого воспользуемся следующими правилами:

- Если F(x) - первообразная функции f(x), то F(ax+b) - первообразная функции f(ax+b), где a и b - константы. - Если F(x) - первообразная функции f(x), то F'(x) = f(x). - Если f(x) и g(x) - функции, то ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.

Также нам понадобятся следующие тригонометрические формулы:

- sin(2x) = 2sin(x)cos(x) - csc^2(x) = 1 + cot^2(x) - cot(x) = cos(x)/sin(x)

Используя эти правила и формулы, получим:

∫sin(x/2)dx = -2cos(x/2) + C_1

∫cos(x)dx = sin(x) + C_2

∫csc^2(x)dx = -cot(x) + C_3

Сложив эти первообразные, получим первообразную исходной функции:

∫[sin(x/2)-cos(x)+1/sin^2x]dx = -2cos(x/2) + sin(x) - cot(x) + C

где C - произвольная константа, равная сумме C_1, C_2 и C_3.

Ответ: первообразная функции f(x)=sin(x/2)-cos(x)+1/sin^2x равна

F(x) = -2cos(x/2) + sin(x) - cot(x) + C