Question

В урні 10 куль. Скільки в урні білих куль, якщо ймовірність того, що 3 навмання вибрані кулі будуть білими, дорівнює 1/6

Answer 1

Пусть всего белых шаров будет $x$. Тогда выбрать три белых шара можно $C^3_x$ способами (это число благоприятных событий).

Число все возможных событий: $C^3_{10}=\dfrac{10!}{3!7!}= 120$

Вероятность того, что 3 наугад выбранные шары окажутся белыми, равна 1/6, то есть $\dfrac{C^3_x}{120}=\dfrac{1}{6}$ - решим уравнение

$C^3_x=20\\ \\ \dfrac{x!}{3!(x-3)!}=20~~\Rightarrow~~~\dfrac{x(x-1)(x-2)(x-3)!}{6(x-3)!}=20\\ \\ x(x-1)(x-2)=120\\ x^3-3x^2+2x-120=0\\ x^3-6x^2+3x^2-18x+20x-120=0\\ x^2(x-6)+3x(x-6)+20(x-6)=0\\ (x-6)(x^2+3x+20)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

$x-6=0$ откуда $x=6$ белых шаров.

Квадратное уравнение $x^2+3x+20=0$ действительных корня не имеет, так как $D=9-4\cdot20=-71<0$

Ответ: в урне 6 белых шаров.

Answer 2

Давайте розглянемо це завдання крок за кроком.

У нас є урна з 10 кульками. Задача полягає в тому, щоб з'ясувати, скільки з цих кульок є білими, якщо ймовірність витягнути 3 кульки із урни так, що всі вони будуть білого кольору, дорівнює 1/6.

Крок 1: Визначення ймовірностей

Позначимо Х як кількість білих кульок у вибірці. Ймовірність витягти першу білу кульку дорівнює кількості білих кульок, поділеній на загальну кількість кульок у вибірці. Оскільки кульок білого кольору у нас невідомо, позначимо їх як "х":

P(перша біла кулька) = Х / 10

Крок 2: Визначення ймовірностей після витягування першої білої кульки

Після витягування першої білої кульки, у нас залишиться 9 кульок (так як ми вже витягнули одну). З кількістю білих кульок у вибірці теж станеться зміна. Якщо перша кулька була білою, то залишиться Х-1 біла кулька.

P(друга біла кулька) = (Х-1) / 9

Крок 3: Визначення ймовірностей після витягування другої білої кульки

Якщо друга кулька також є білою, то після витягування другої кульки в нашій вибірці залишиться 8 кульок, і кількість білих кульок зменшиться ще на 1.

P(третя біла кулька) = (Х-2) / 8

Крок 4: Обчислення загальної ймовірності

Згідно з умовою задачі, ймовірність того, що 3 навмання вибрані кульки будуть білими, дорівнює 1/6. Таким чином, ми можемо записати рівняння:

P(перша біла кулька) * P(друга біла кулька) * P(третя біла кулька) = 1/6

(Х / 10) * ((Х-1) / 9) * ((Х-2) / 8) = 1/6

Крок 5: Знаходження значення Х

Тепер ми можемо вирішити це рівняння для знаходження значення Х. Після спрощення рівняння і його перетворень, ми отримаємо квадратне рівняння:

10 * 9 * 8 * Х - 10 * 9 * (Х-1) * (Х-2) = 48

720Х - 10 * 9 * (Х^2 - 3Х + 2) = 48

720Х - 90Х^2 + 270Х - 180 = 48

-90Х^2 + 990Х - 228 = 0

Після розв'язання цього квадратного рівняння, отримаємо два корені: X = 2 та X = 2.53. Враховуючи, що кількість кульок повинна бути цілим числом, ми виберемо X = 2.

Відповідь:

Отже, в урні є дві білі кульки.