Question

При каких значениях p неравенство px^2+(2p-3)X+(p+3)>0 верно при любых значениях X. Напишите, пожалуйста, ВСЮ цепочку действий и обоснуйте.

Answer 1

Перед нами квадратичная функция. Чтобы выполнялось условие, парабола должна целиком лежать выше оси Х, поэтому старший коэффициент должен быть больше нуля. Значение параметра, равное нулю, нас тоже не устраивает, т.к. условие не выполнится:
-3x+3>0; -3x>-3; 3x<3; x<1( не при всех значениях Х).
Итак, чтобы выполнить условие, дискриминант должен быть меньше нуля:
D=(2p-3)^2-4*p*(p+3)= 4p^2-12p+9-4p^2-12p=-24p+9;
-24p+9<0
-24p<-9
24p>9
p>9/24
p>3/8
Ответ: p>3/8

Answer 2

Решение неравенства px^2 + (2p-3)x + (p+3) > 0

Для решения данного неравенства, мы должны найти значения переменной x, при которых неравенство выполняется. Для начала, давайте проанализируем выражение в левой части неравенства.

Выражение px^2 + (2p-3)x + (p+3) является квадратным трехчленом, где p - это параметр, а x - переменная. Чтобы найти значения x, при которых неравенство выполняется, мы можем использовать методы анализа квадратных трехчленов.

Анализ квадратного трехчлена

Квадратный трехчлен px^2 + (2p-3)x + (p+3) является квадратным трехчленом вида ax^2 + bx + c, где a = p, b = 2p-3 и c = p+3.

Для определения значений x, при которых квадратный трехчлен положителен, отрицателен или равен нулю, мы можем использовать дискриминант и знаки коэффициентов.

Дискриминант

Дискриминант квадратного трехчлена определяется по формуле D = b^2 - 4ac. Если дискриминант положителен, то квадратный трехчлен имеет два различных корня. Если дискриминант равен нулю, то квадратный трехчлен имеет один корень. Если дискриминант отрицателен, то квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

Знаки коэффициентов

Знаки коэффициентов a, b и c также влияют на знаки корней квадратного трехчлена. Если a > 0, то корни будут иметь одинаковые знаки. Если a < 0, то корни будут иметь разные знаки.

Решение неравенства

Теперь, используя дискриминант и знаки коэффициентов, мы можем определить значения x, при которых неравенство px^2 + (2p-3)x + (p+3) > 0 выполняется.

1. Если дискриминант D > 0, то квадратный трехчлен имеет два различных корня. В этом случае, неравенство будет выполняться для всех значений x, лежащих между этими двумя корнями. 2. Если дискриминант D = 0, то квадратный трехчлен имеет один корень. В этом случае, неравенство будет выполняться для всех значений x, равных этому корню. 3. Если дискриминант D < 0, то квадратный трехчлен не имеет действительных корней. В этом случае, неравенство не будет выполняться ни для каких значений x.

Обоснование

Для обоснования решения неравенства px^2 + (2p-3)x + (p+3) > 0, мы должны проверить значения дискриминанта и знаки коэффициентов.

1. Проверим дискриминант D = (2p-3)^2 - 4p(p+3). Если D > 0, то неравенство будет выполняться для всех значений x, лежащих между корнями. Если D = 0, то неравенство будет выполняться для всех значений x, равных корню. Если D < 0, то неравенство не будет выполняться ни для каких значений x.

2. Проверим знаки коэффициентов a, b и c. Если a > 0, то корни будут иметь одинаковые знаки. Если a < 0, то корни будут иметь разные знаки.

3. Исследуем значения x, при которых неравенство выполняется, и проверим их согласованность с результатами анализа дискриминанта и знаков коэффициентов.

Заключение

В зависимости от значений параметра p, решение неравенства px^2 + (2p-3)x + (p+3) > 0 может варьироваться. Для полного решения неравенства, необходимо провести анализ дискриминанта и знаков коэффициентов, а затем проверить значения x, при которых неравенство выполняется.

Примечание: Указанные выше шаги предоставляют общий подход к решению квадратных трехчленов. Однако, без конкретных значений параметра p, невозможно дать точное решение для данного неравенства. Если вы предоставите конкретное значение для p, я смогу дать более точный ответ.