Question

Решите систему уравнений: а) {x^2+y^2=5 {xy=2

Answer 1

$x^2+y^2=5$
$xy=2$

сделаем замену x+y=A; xy=B
тогда
$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=A^2-2B$

система перепишется в виде
$A^2-2B=5$
$B=2$

$A^2-2*2=5$
$A^2-4=5;A^2=5+4;A^2=9=3^2=(-3)^2$
$A_1=3; B=2;$ или $A=-3; B=2$

возвращаемся к замене
1) A=3; B=2
x+y=3; xy=2
y=3-x
$x(3-x)=2$
$3x-x^2=2$
$x^2-3x+2=0$
$(x-1)(x-2)=0$
$x-1=0;x_1=1; y_1=3-1=2$
$x-2=0;x_2=2; y_2=3-2=1$

2) A=-3; B=2
x+y=-3; xy=2
y=-3-x
$x(-3-x)=2$
$x(x+3)=-2$
$x^2+3x+2=0$
$(x+1)(x+2)=0$
$x+1=0;x_3=-1;y_3=-3-(-1)=-2$
$x+2=0;x_4=-2;y_4=-3-(-2)=-1$
ответ: (1;2) , (2;1), (-2;-1), (-1;-2)

Answer 2

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки.

а) Имеем систему уравнений: x^2 + y^2 = 5 (1) xy = 2 (2)

Из уравнения (2) можно выразить одну из переменных через другую: y = 2/x

Подставим это выражение в уравнение (1): x^2 + (2/x)^2 = 5

Раскроем скобки: x^2 + 4/x^2 = 5

Умножим все члены уравнения на x^2, чтобы избавиться от знаменателя: x^4 + 4 = 5x^2

Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения: x^4 - 5x^2 + 4 = 0

Решим это квадратное уравнение. Обозначим x^2 = t: t^2 - 5t + 4 = 0

Разложим на множители: (t - 4)(t - 1) = 0

Получаем два возможных значения t: t1 = 4 t2 = 1

Вернемся к исходной переменной x: x^2 = 4 x1 = 2 x2 = -2

x^2 = 1 x3 = 1 x4 = -1

Теперь найдем соответствующие значения y, используя уравнение (2): y1 = 2/x1 = 2/2 = 1 y2 = 2/x2 = 2/-2 = -1 y3 = 2/x3 = 2/1 = 2 y4 = 2/x4 = 2/-1 = -2

Таким образом, получаем четыре решения системы уравнений: (x1, y1) = (2, 1) (x2, y2) = (-2, -1) (x3, y3) = (1, 2) (x4, y4) = (-1, -2)

Ответ: система уравнений имеет четыре решения: (2, 1), (-2, -1), (1, 2), (-1, -