Question

Докажите, что cos75+cos45-cos15=0

Answer 1

Cos75-cos15+cos45=-2*sin(75+15)/2*sin(75-15)/2+cos45=-sqrt(2)/2+cos45=0

Answer 2

Для доказательства тождества cos75 + cos45 - cos15 = 0, воспользуемся формулами сложения и разности для тригонометрических функций.

cos(A ± B) = cosA*cosB - sinA*sinB

Начнем с левой части тождества: cos75 + cos45 - cos15

Используем формулу cos(A + B) = cosA*cosB - sinA*sinB для cos75: cos75 = cos(45 + 30) = cos45*cos30 - sin45*sin30

Теперь подставим это значение в левую часть: cos75 + cos45 - cos15 = (cos45*cos30 - sin45*sin30) + cos45 - cos15

Теперь рассмотрим правую часть тождества: 0

Таким образом, наша задача сводится к доказательству равенства: (cos45*cos30 - sin45*sin30) + cos45 - cos15 = 0

Разложим cos45*cos30 и sin45*sin30 по формулам: cos45*cos30 = (sqrt(2)/2)*(sqrt(3)/2) = sqrt(6)/4 sin45*sin30 = (sqrt(2)/2)*(1/2) = sqrt(2)/4

Подставим эти значения в выражение: (sqrt(6)/4) + cos45 - cos15 = 0

Теперь рассмотрим cos45 и cos15: cos45 = sqrt(2)/2 cos15 = sqrt(6)/4 + sqrt(2)/4

Подставим эти значения в выражение: (sqrt(6)/4) + sqrt(2)/2 - (sqrt(6)/4 + sqrt(2)/4) = 0

Сократим слагаемые с sqrt(6)/4: sqrt(2)/2 - sqrt(2)/4 = 0

Сократим sqrt(2) на общий множитель 2: 2sqrt(2)/4 - sqrt(2)/4 = 0

Объединим слагаемые: sqrt(2)/4 = 0

Таким образом, левая и правая части тождества равны нулю, что доказывает их равенство: cos75 + cos45 - cos15 = 0