Question

Решите неравенство log1/5(x^2+7x+10)>-2 (1/5 - это основание логарифма)

Answer 1

x^2+7x+10<25

x^2+7x-15<0

x^2+7x+10>0

x<2 U x>5

x=(7+-sqrt(49+60))/2

x>(7+sqrt(109))/2 U x<(7-sqrt(109))/2

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы можем использовать свойства логарифмов и алгебраические методы. Давайте разберемся по шагам.

Шаг 1: Применение свойств логарифмов

Используя свойство логарифма, мы можем переписать данное неравенство в эквивалентной форме:

log_1/5(x^2 + 7x + 10) > -2

Шаг 2: Применение свойств экспоненты

Мы можем преобразовать логарифмическое неравенство в эквивалентное экспоненциальное неравенство, используя свойство экспоненты:

x^2 + 7x + 10 > (1/5)^(-2)

Шаг 3: Упрощение правой части неравенства

Вычислим правую часть неравенства:

(1/5)^(-2) = 5^2 = 25

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Приведем левую часть неравенства к квадратному уравнению и решим его:

x^2 + 7x + 10 > 25

Перенесем все члены влево:

x^2 + 7x + 10 - 25 > 0

Упростим:

x^2 + 7x - 15 > 0

Теперь нам нужно найти значения x, при которых это квадратное уравнение больше нуля.

Шаг 5: Факторизация или использование квадратного корня

Мы можем решить это квадратное неравенство, используя факторизацию или квадратный корень. Давайте воспользуемся факторизацией:

(x + 5)(x - 3) > 0

Теперь мы должны рассмотреть знаки каждого множителя.

- Когда (x + 5) > 0 и (x - 3) > 0, оба множителя положительны. Это будет выполняться, когда x > -5 и x > 3. Однако, нам нужно выбрать только значения x, которые удовлетворяют обоим условиям, поэтому мы берем пересечение этих интервалов, что дает нам x > 3.

- Когда (x + 5) < 0 и (x - 3) < 0, оба множителя отрицательны. Это будет выполняться, когда x < -5 и x < 3. Опять же, мы берем пересечение этих интервалов, что дает нам x < -5.

Шаг 6: Ответ

Таким образом, решением данного неравенства является x < -5 или x > 3.

Пожалуйста, обратите внимание, что это решение основано на предположении, что основание логарифма равно 1/5, как указано в вашем вопросе. Если основание логарифма отличается, решение может быть другим.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.