Question

Найдите острый угол между касательными, проведёнными к кривым y=18/sqrt(x) и y = 12/sqrt(x)+2*sqrt(x)

Answer 1

Если уравнения касательных, проведенных к кривым $y=f_1(x)$ и $y=f_2(x)$, то тангенс угла между кривыми определяется соотношением
                    $\displaystyle tg \alpha = \dfrac{f'_2(x_0)-f'_1(x_0)}{1+f_1'(x_0)f_2'(x_0)}$

Найдем точки пересечения графиков заданных функций 
$\displaystyle \left \{ {{y_1= \frac{18}{ \sqrt{x} } } \atop {y_2=\frac{12}{ \sqrt{x} }}+2 \sqrt{x} } \right.$ т.е. $\dfrac{18}{ \sqrt{x} }=\dfrac{12}{ \sqrt{x} }+2 \sqrt{x}$
Умножив обе части уравнения на $\sqrt{x} \ne0$, получим
$18=12+2x|:2\\ 9=6+x\\ x=3$
тогда $y= \dfrac{18}{ \sqrt{x} }=\dfrac{18}{ \sqrt{3} }=6 \sqrt{3} .$

Далее находим производные заданных функций в найденной точке x=3, т.е.
$y'_1=\bigg(\dfrac{18}{ \sqrt{x} }\bigg)'=- \dfrac{9}{x^{3/2}};\,\,\,\, y'_1(3)=-\sqrt{3} \\ \\ \\y_2'=\bigg(\dfrac{12}{ \sqrt{x} }+2 \sqrt{x} \bigg)'=- \dfrac{6}{x^{3/2}} + \dfrac{1}{ \sqrt{x} } ;\,\,\,\, y_2'(3)=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

Тогда тангенс угла между кривыми:

 $tg \alpha = \dfrac{ -\frac{1}{ \sqrt{3} } + \sqrt{3} }{1+(- \frac{1}{\sqrt{3}})\cdot(- \sqrt{3} ) } = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ откуда  $\alpha =arctg\bigg( \dfrac{1}{\sqrt{3}}\bigg)=30а$

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать свойство тангенса угла между двумя кривыми.

Для начала, давайте найдем производные от обеих кривых.

Для кривой y = 18/sqrt(x), мы можем использовать правило дифференцирования для обратной функции. Используя цепное правило, получим:

dy/dx = -9/x^(3/2)

Для кривой y = 12/sqrt(x) + 2*sqrt(x), возьмем производную по отдельности для каждого слагаемого:

dy/dx = -6/x^(3/2) + 1/sqrt(x)

Теперь, чтобы найти точку пересечения касательных, мы должны приравнять производные и решить уравнение:

-9/x^(3/2) = -6/x^(3/2) + 1/sqrt(x)

Упрощая это уравнение, получим:

-3/x^(3/2) = 1/sqrt(x)

Умножая обе части на sqrt(x), получим:

-3/sqrt(x) = 1

Решая это уравнение, мы получаем x = -9/3 = -3.

Теперь, чтобы найти y-координату этой точки, мы можем подставить x в одно из уравнений кривых. Давайте возьмем первое уравнение:

y = 18/sqrt(x)

Подставляя x = -3, получаем:

y = 18/sqrt(-3)

Здесь возникает проблема, так как мы не можем извлечь корень из отрицательного числа. Следовательно, эти кривые не пересекаются, и у нас нет точки пересечения касательных.

Таким образом, мы не можем найти острый угол между касательными проведенными к данным кривым, так как они не пересекаются.