Question

Решите уравнение (x+1)^4(x+1)^2-6=0 Вот это если что ^4,^2 степень (x-1)^4-2(x-1)^2-3=0 ^4,^2 это степень

Answer 1

(х-1)^4-2(х-1)^2-3=0
Пусть (x-1)^2=t, t>=0
t^2-2t-3=0
По теореме Виета
t1+t2=2
t1*t2=-3
t1=3
t2=-1
(x-1)^2=3
x^2-2x+1=3
x^2-2x+1-3=0
x^2-2x-2=0
D=4+4*2=12
x1=(2+корень из 12)/2=(2+ 2 корня из 3)/2=2(1+ корень из 3)/2=1+ корень из 3
x2=(2-корень из 12)/2=(2- 2 корня из 3)/2=2(1- корень из 3)/2=1- корень из 3
(x-1)^2=-1
Корней нет
Ответ: 1+ корень из 3; 1- корень из 3

Answer 2

Давайте решим первое уравнение \((x+1)^4 \cdot (x+1)^2 - 6 = 0\):

Объединим степени с одинаковыми основаниями: \[(x+1)^{4+2} - 6 = 0\]

Теперь преобразим выражение: \[(x+1)^6 - 6 = 0\]

Теперь мы можем решить это уравнение. Приведем его к виду \((x+1)^6 = 6\):

\[x+1 = \pm \sqrt[6]{6}\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения \(x\):

1. \(x+1 = \sqrt[6]{6}\) 2. \(x+1 = -\sqrt[6]{6}\)

Решив каждое уравнение по отдельности, получим:

1. \(x = \sqrt[6]{6} - 1\) 2. \(x = -\sqrt[6]{6} - 1\)

Теперь рассмотрим второе уравнение \((x-1)^4 - 2(x-1)^2 - 3 = 0\):

Обозначим \(y = (x-1)^2\), тогда уравнение примет вид \(y^2 - 2y - 3 = 0\).

Решим это квадратное уравнение:

\[\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\]

\[y_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = 1 \pm 4\]

Таким образом, у нас есть два значения \(y\):

1. \(y_1 = 1 + 4 = 5\) 2. \(y_2 = 1 - 4 = -3\)

Теперь вернемся к \(x\), используя \(y = (x-1)^2\):

1. Для \(y = 5\): \[(x-1)^2 = 5\] \[x-1 = \pm \sqrt{5}\] \[x = 1 \pm \sqrt{5}\]

2. Для \(y = -3\): \[(x-1)^2 = -3\] Уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат не может быть отрицательным.

Таким образом, у нас есть три решения для второго уравнения:

1. \(x = 1 + \sqrt{5}\) 2. \(x = 1 - \sqrt{5}\) 3. Нет действительных корней.

Итак, общее множество решений для обоих уравнений:

\[x = \sqrt[6]{6} - 1, \quad x = -\sqrt[6]{6} - 1, \quad x = 1 + \sqrt{5}, \quad x = 1 - \sqrt{5}\]