Question

Кащей загадал три двузначных натуральных числа: a, b и c. За ход Иван Царевич называет Кащею три натуральных числа X, Y , Z, какие хочет, и Кащей сообщает Ивану сумму aX + bY + cZ. Как Ивану отгадать загаданные числа, сделав всего один ход? б) (4 балла) Сможет ли Иван отгадать загаданные числа всего за два хода, если они не обязательно двузначные (но натуральные)?

Answer 1

А) X=10000; Y=100; Z=1. Если a=a_1a_2; b=b_1b_2; c=c_1c_2 (это не произведения, а двузначные числа)⇒
 
      aX+bY+cZ=a_1a_2b_1b_2c_1c_2,

то есть первые две цифры этого числа дают нам a, вторые два - b, третьи - c.

б) Первый ход: X=Y=Z=1⇒aX+bY+cZ=a+b+c. Если полученное число имеет k знаков ⇒ числа a, b и c имеют не более k знаков.

Второй ход: X=10^(2k); Y=10^k; Z=1. В результате, как и в п. а), удается растащить a, b и c по разным разрядам. Рассмотрим сначала k младших разрядов; они дают число c (если сначала идут нули, их можно не учитывать); следующие k  разрядов дадут b (снова нули в начала не учитываем); остальные цифры дают a. 

Замечание. Возможные нули справа отбрасывать не надо!