Question

Прошу вас ещё немного логарифмов помогите решить,пожалуйста!( 1)log7 (x^2-12x+36)=0 2)log2 (x^2-3x-10)=3 3)log2 (x^2+7x-5)=log2 (4x-1) 4)log^2 1/2 x+3log1/2 x+2=0

Answer 1

$1.\\\\\log_7(x^2 - 12x + 36) = 0\;\;\;ODZ: x^2 - 12x + 36 > 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}, x \neq 6 \\\\\log_7(x^2 - 12x +36) = \log_71\\\\x^2 - 12x + 36 = 1\\\\x^2 - 12x + 35 = 0$

По теореме Виета:

$\left\{\begin{array}{lcl} {{x_1 + x_2=12} \\ {x_1\cdot x_2=35}}\end{array} \right.\Leftrightarrow x_1 = 7,\; x_2 = 5$

Ответ: 5, 7

$2.\\\\\log_2(x^2 - 3x - 10) = 3 \;\;\;ODZ: x^2 - 3x - 10 > 0\Leftrightarrow (x + 2)(x - 5) > 0 \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow x\in(-\infty, -2) \cup (5,+\infty)\\\\\log_2(x^2 - 3x - 10) = \log_28\\\\x^2 - 3x - 18 = 0$

По теореме Виета:

$\left\{\begin{array}{lcl} {{x_1 + x_2=3} \\ {x_1\cdot x_2=-18}}\end{array} \right. \Leftrightarrow x_1 = -3,\; x_2 = 6$

Ответ: -3, 6

$3.\\\\\log_2 (x^2 + 7x - 5) = \log_2(4x-1)\\\\x^2 + 7x - 5 = 4x - 1\\\\x^2 + 3x - 4 = 0$

По теореме Виета:

$\left \{\begin{array}{lcl} {{x_1+x_2=-3} \\ {x_1\cdot x_2=-4}}\end{array} \right. \Leftrightarrow x_1 = -4, \;x_2 = 1$

Проверка:

$1) \;\;x = -4\\\\\log_2(16 - 28 - 5) = \log_2(-16-1)$

$\log_2(-17) = \log_2(-17) \Rightarrow x = -4$ не является решением

$2) \;\; x = 1\\\\\log_2(1 + 7 - 5) = \log_2(4 - 1)$

$\log_2(3) = \log_2(3) \Rightarrow x = 1$ является решением

Ответ: 1

$4.\\\\\log_{0.5}^2(x) + 3\log_{0.5}(x) + 2 = 0\;\;ODZ: x> 0$

Замена: $\log_{0.5}(x) = t$

$t^2 + 3t + 2 = 0$

По теореме Виета:

$\left \{\begin{array}{lcl} {{t_1 + t_2=-3} \\ {t_1\cdot t_2=2}}\end{array} \right. \Leftrightarrow t_1 = -2, \;t_2 = -1$

Возврат замены

$\left \begin{array}{lcl} {{\log_{0.5} x = -1} \\ {x=2}} \end{array}\right. \;\;\;\;\;\; \left \begin{array}{lcl} {{\log_{0.5} x = -2} \\ {x=4}} \end{array}\right.$

Ответ: 2, 4