Question

1) Решить уравнение2) Найти координаты точки графика функции , сумма квадратов расстояний от которой до точки A(4;0) и до начала координат наименьшая.

Answer 1

1)  удобно сделать замену    
 $\frac{4x+1}{x+4}=a\\ \frac{2}{x}=b\\\\ \sqrt{12-b-a}-b=a\\ \sqrt{12-b-a}=a+b\\ a \geq -b\\ 12-b-a=(a+b)^2\\ (a+b)^2+(a+b)=12\\ (a+b)(a+b+1)=12$ 
можно выразить х через а и затем оно будет равна     
$(x-8)(x-1)(8x^2+19x+8)=0\\ x=8\\ x=1\\ 8x^2+19x+8=0\\ x=\frac{\sqrt{105}}{16}-\frac{19}{16}\\ x=-\frac{\sqrt{105}}{16} - \frac{19}{16}$

2)    $y=x+1$ пусть точки будут равны $(x;y)$ , тогда по условию сумма расстояний $(4-x)^2+y^2+x^2+y^2=A$ где $A$ есть расстояние 
 но так как точки  лежать на прямой $y=x+1$ подставляя  получаем 
$A=4x^2-4x+18$ исследуем функцию так как $4>0$ , то вершина будет находится  в низу параболы , тем самым по формуле $y=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ ,тогда $y=\frac{3}{2}$