Question

Объясните подробно как решаются такие примеры:Разложение многочленов на множители с помощью комбинации различных приемов.1. 81-(с^2+6с)^216m^2-(m-n)^22. 16-(x^2-2xy+y^2)4-p^2-2pq-q^2)3.c^2-d^2+6c+9r^2-s^2-10s-25

Answer 1

Во всех примерах проверяется ваше умение использовать разность квадратов и умение сворачивать квадратный многочлен в полный квадрат.
1. 81-(с^2+6с)^2=9^2 - (с^2+6с)^2=(9-с^2-6с)(9+с^2+6с)=(9-с^2-6с)(с+3)^2
16m^2-(m-n)^2=(4m)^2-(m-n)^2=(4m-m+n)(4m+m-n)=(3m+n)(5m-n)
2. 16-(x^2-2xy+y^2)=4^2-(x-y)^2=(4-x+y)(4+x-y)
4-(p^2-2pq-q^2)=2^2-(p-q)^2=(2-p+q)(2+p-q)
3.c^2-d^2+6c+9=(c+3)^2-d^2=(c+3-d)(c+3+d)
r^2-s^2-10s-25=r^2-(s^2+10s+25)=r^2-(s+5)^2=(r+s+5)(r-s-5)

Answer 2

1. Разложение многочленов на множители с помощью комбинации различных приемов: a. Рассмотрим первый пример: 81 - (с^2 + 6с)^2 Для начала раскроем скобку (с^2 + 6с)^2: (с^2 + 6с)^2 = c^4 + 2c^3 * 6с + (6с)^2 = c^4 + 12c^3 + 36с^2 Теперь вычтем полученное выражение из 81: 81 - (c^4 + 12c^3 + 36с^2) = -c^4 - 12c^3 - 36с^2 + 81 Далее факторизуем полученный многочлен. Сначала можно вынести общий множитель -1: -c^4 - 12c^3 - 36с^2 + 81 = -(c^4 + 12c^3 + 36с^2 - 81) Теперь рассмотрим получившийся многочлен в правой скобке. Заметим, что это является разностью квадратов: c^4 + 12c^3 + 36с^2 - 81 = (c^2 + 9)^2 - 81 Применим формулу разности квадратов: (c^2 + 9)^2 - 81 = (c^2 + 9 + 9)(c^2 + 9 - 9) = (c^2 + 18)(c^2) Получаем разложение исходного многочлена на множители: -(c^2 + 18)(c^2)

b. Второй пример: 16 - (x^2 - 2xy + y^2)^2

Раскрываем квадрат: (x^2 - 2xy + y^2)^2 = x^4 - 4x^3y + 6x^2y^2 - 4xy^3 + y^4

Подставляем это выражение в исходный многочлен: 16 - (x^4 - 4x^3y + 6x^2y^2 - 4xy^3 + y^4)

Упрощаем: 16 - x^4 + 4x^3y - 6x^2y^2 + 4xy^3 - y^4

Замечаем, что это опять разность квадратов: (x^2 - y^2)^2 = x^4 - 2x^2y^2 + y^4

Применяем разность квадратов к исходному многочлену: 16 - x^4 + 4x^3y - 6x^2y^2 + 4xy^3 - y^4 = 16 - (x^4 - 2x^2y^2 + y^4)

Упрощаем: 16 - x^4 + 4x^3y - 6x^2y^2 + 4xy^3 - y^4 = 16 - (x^2 - y^2)^2

Получаем разложение исходного многочлена на множители: 16 - (x^2 - y^2)^2

c. Третий пример: c^2 - d^2 + 6c + 9r^2 - s^2 - 10s - 25

Факторизуем первые два и последние два слагаемых в многочлене: (c^2 - d^2) + 6c + (9r^2 - s^2) - 10s - 25

Замечаем, что первые два слагаемых представляют собой разность квадратов: (c^2 - d^2) = (c - d)(c + d)

Аналогично, последние два слагаемых представляют собой разность квадратов: (9r^2 - s^2) = (3r - s)(3r + s)

Подставляем полученные разложения в исходный многочлен: (c - d)(c + d) + 6c + (3r - s)(3r + s) - 10s - 25

Теперь объединяем подобные слагаемые: c^2 - d^2 + 6c + 9r^2 - s^2 - 10s - 25 = (c - d)(c + d) + 6c + (3r - s)(3r + s) - 10s - 25

Получаем разложение исходного многочлена на множители: (c - d)(c + d) + 6c + (3r - s)(3r + s) - 10s - 25