Question

Решите неравенство (х^2 +x+3)(x^2+x+4)<12

Answer 1

Выполним замену $x^{2}$+x+3=t
тогда получаем неравенство  t(t+1)<12 или  t^2+t -12 <0  
Разложим левую часть на множители и решим неравенство методом интервалов
получим решение этого неравенства   -4<t<3
затем возвращаемся к переменной икс, получаем систему неравенств, первое неравенство этой системы дает решение: х - любое число (D<0)

Answer 2

Давайте разберемся с неравенством:

\[ (x^2 + x + 3)(x^2 + x + 4) < 12 \]

1. Раскроем скобки:

\[ x^4 + x^3 + 4x^2 + x^3 + x^2 + 4x + 3x^2 + 3x + 12 < 12 \]

2. Сгруппируем одинаковые члены:

\[ x^4 + 2x^3 + 8x^2 + 7x < 0 \]

3. Теперь мы хотим найти корни уравнения \(x^4 + 2x^3 + 8x^2 + 7x = 0\), чтобы определить интервалы, где неравенство может быть выполнено.

4. Воспользуемся факторизацией. Первый член \(x\) можно вынести:

\[ x(x^3 + 2x^2 + 8x + 7) = 0 \]

5. Найдем корни уравнения \(x^3 + 2x^2 + 8x + 7 = 0\). Заметим, что это кубическое уравнение. К сожалению, в общем случае его корни можно найти только численными методами.

6. Однако, мы можем проанализировать знаки выражения \(x^3 + 2x^2 + 8x + 7\) на различных интервалах, используя знание о знаках многочленов. Возможно, это упростит задачу.

- При \(x < 0\) все слагаемые отрицательны, следовательно, \(x^3 + 2x^2 + 8x + 7 < 0\). - При \(x = 0\) выражение равно нулю. - Для \(x > 0\), как бы сложно ни было кубическое уравнение, нам важно, чтобы выражение \(x^3 + 2x^2 + 8x + 7\) было положительным.

7. Теперь мы можем анализировать знаки произведения:

\[ x(x^3 + 2x^2 + 8x + 7) < 0 \]

- Если \(x < 0\), то произведение отрицательно. - Если \(x > 0\), то произведение положительно, но нам нужно учесть, что \(x^4 + 2x^3 + 8x^2 + 7x\) тоже должно быть меньше нуля.

Таким образом, решение неравенства - это все отрицательные значения \(x\) и интервалы положительных значений \(x\), для которых \(x^3 + 2x^2 + 8x + 7 > 0\). Конкретные численные значения корней кубического уравнения могут быть найдены численными методами или использованы компьютерные программы для вычисления корней многочленов.