Question

Два экскаватора ,работая совместно , могут вырыть котлован за 48 часов.За какое время каждый из них может вырыть котлован,работая в отдельности , если первому нужно для этого на 40 часов больше,чем второму?

Answer 1

Дано:
Время на совместн. работу=48 ч
1-ый затратит времени - на 40 ч больше 2-ого
Найти:
Время работы 1-ого=? ч
Время работы 2-ого=? ч
Решение
Примем работу за 1.
Пусть х часов - время работы второго экскаватора, тогда первому понадобится на 40 часов больше: х+40 ч.
Первый экскаватор за 1 час выкопает 1/(х+40) - производительность.
Второй экскаватор за 1 час выкопает 1/х.
Вместе за 1 час экскаваторы выкапывали 1/48.
Составим и решим уравнение:
1/(х+40)+1/х=1/48 (умножим все члена на 48×х×(х+40), чтобы избавиться от знаменателей)
1×48х(х+40)/(х+40)+1×48х(х+40)/х=48х(х+40)/48 (сократим дроби)
48х+48(х+40)=х(х+40)
48х+48х+1920=х²+40х
96х+1920-х²-40х=0
56х+1920-х²=0
х²-56х-1920=0
D=b²-4ac=56²-4×1×(-1920)=3136+7680=10816 (√10816=104)
D>0 - два корня
х₁=(-b+√D)/2a=(-(-56)+104)/2×1=(56+104)/2=160/2=80 (ч)
х₂=(-b-√D)/2a=(-(-56)-104)/2×1=(56-104)/2=(-48)/2=-24 (х₂<0 - не подходит)
Значит второму экскаватору понадобится 80 часов, а первому х+40=80+40=120 часов.
ОТВЕТ: первому экскаватору понадобится 120 часов, а второму 80 часов.

Answer 2

Пусть время, за которое второй экскаватор вырывает котлован в отдельности, равно х часов. Тогда первому экскаватору потребуется на 40 часов больше, то есть (х + 40) часов.

За 1 час работы вместе они вырывают 1/48 котлована. Таким образом, второй экскаватор за 1 час вырывает 1/х котлована, а первый экскаватор за 1 час вырывает 1/(х + 40) котлована.

Суммируя эти доли, получаем уравнение:

1/х + 1/(х + 40) = 1/48

Домножим обе части уравнения на 48х(х + 40), чтобы избавиться от знаменателей:

48(х + 40) + 48х = х(х + 40)

Раскроем скобки:

48х + 1920 + 48х = х^2 + 40х

Упростим:

96х + 1920 = х^2 + 40х

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

х^2 - 56х - 1920 = 0

Решим это квадратное уравнение:

х = (-(-56) ± √((-56)^2 - 4*1*(-1920))) / (2*1)

х = (56 ± √(3136 + 7680)) / 2

х = (56 ± √10816) / 2

х = (56 ± 104) / 2

Таким образом, получаем два возможных значения х:

х1 = (56 + 104) / 2 = 80

х2 = (56 - 104) / 2 = -24

Отрицательное значение не имеет смысла в данной задаче, поэтому х = 80.

Таким образом, второму экскаватору потребуется 80 часов для вырытия котлована в отдельности, а первому экскаватору потребуется (80 + 40) = 120 часов.