Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=3/2*x^(2/3) - 1/3*x^3 на отрезке [0;8].

Answer 1

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке надо искать среди ее экстремумов и на границах отрезка.
Найдем экстремумы функции $y= \frac{3}{2} x^{2/3}- \frac{1}{3}x^3$
$y'= \frac{3}{2} *\frac{2}{3} x^{-1/3}- \frac{1}{3}*3x^2=x^{-1/3}- x^2=0$
$x^{-1/3}= x^2$
x=0, x=1
проверяем точки 0, 1 и 8 (границу отрезка)
y(0)=0
y(1)=3/2-1/3=(9-2)/6=7/6=1 1/6
y(8)=$y= \frac{3}{2} 8^{2/3}- \frac{1}{3}8^3=\frac{3}{2} *4- \frac{1}{3}*512=6 - 170 \frac{2}{3}= -164 \frac{2}{3}$

ответ: y(8)=-164 2/3 -наименьшее значение, а y(1)=1 1/6 -наибольшее значение на отрезке [0;8]

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [0, 8] необходимо найти критические точки и значения функции на концах отрезка.

1. Найдем критические точки, т.е. точки, где производная функции равна нулю или не существует.

Вычислим производную функции y = (3/2)x^(2/3) - (1/3)x^3: y' = (3/2)(2/3)x^(-1/3) - (1/3)(3)x^2 y' = x^(-1/3) - x^2

Приравняем производную к нулю и решим уравнение: x^(-1/3) - x^2 = 0

Приведем уравнение к общему знаменателю: x^(-1/3) - x^2 = 0 1 - x^(7/3) = 0

Решим уравнение: 1 = x^(7/3) 1^(3/7) = x x = 1

Таким образом, критическая точка находится при x = 1.

2. Найдем значения функции на концах отрезка [0, 8].

Подставим x = 0 в функцию: y = (3/2)(0)^(2/3) - (1/3)(0)^3 y = 0

Подставим x = 8 в функцию: y = (3/2)(8)^(2/3) - (1/3)(8)^3 y = (3/2)(4) - (1/3)(512) y = 6 - 170.67 y ≈ -164.67

Таким образом, значения функции на концах отрезка [0, 8] равны y = 0 и y ≈ -164.67 соответственно.

3. Найдем значение функции в критической точке.

Подставим x = 1 в функцию: y = (3/2)(1)^(2/3) - (1/3)(1)^3 y = (3/2)(1) - (1/3)(1) y = 1.5 - 0.33 y ≈ 1.17

Таким образом, значение функции в критической точке x = 1 равно y ≈ 1.17.

Итак, наибольшее значение функции на отрезке [0, 8] равно около 1.17 и достигается в точке x = 1, а наименьшее значение функции равно -164.67 и достигается в точке x = 8.