Question

Сколько целых чисел удовлетворяют системе неравенств 3-x>=3x-5 x^2-x-12<0?

Answer 1

{ 3 - x >= 3x - 5
{ x^2 - x - 12 < 0
В 1 неравенстве отделяем х от чисел. Во 2 раскладываем на множители.
{ 8 >= 4x
{ (x - 4)(x + 3) < 0
1 неравенство делим на 4
{ x <= 2
{ (x - 4)(x + 3) < 0
В 1 неравенстве решение x = (-oo; 2]
Во 2 неравенстве по методу интервалов решение (-3; 4)
Ответ: (-3; 2]

Answer 2

Для решения данной системы неравенств необходимо сначала решить квадратное неравенство x^2 + 2x - 14 < 0.

Для начала найдем корни данного квадратного уравнения:

x^2 + 2x - 14 = 0

Приведя его к каноническому виду, получим:

x^2 + 2x - 14 = (x + 7)(x - 2) = 0

Таким образом, корни уравнения: x = -7 и x = 2.

Теперь построим таблицу знаков, чтобы определить интервалы значения переменной x, для которых выполняется неравенство x^2 + 2x - 14 < 0:

| -7 | 2 | +---------------+--------------+ x < -7 | - | + | -7 < x < 2 | - | - | x > 2 | + | - |

Таким образом, неравенство x^2 + 2x - 14 < 0 выполняется при -7 < x < 2.

Теперь рассмотрим второе неравенство 3 - x >= 3x - 5 + x^2 - x - 12.

Упростим его:

3 - x >= 3x - 5 + x^2 - x - 12

Проведем операции сравнения и приведем уравнение к каноническому виду:

x^2 + 3x - 20 >= 0

Решим это квадратное уравнение:

x^2 + 3x - 20 = (x + 5)(x - 4) = 0

Корни уравнения: x = -5 и x = 4.

Теперь составим таблицу знаков, чтобы определить интервалы значений переменной x, для которых выполняется неравенство x^2 + 3x - 20 >= 0:

| -5 | 4 | +---------------+--------------+ x < -5 | - | - | -5 < x < 4 | - | + | x > 4 | + | + |

Таким образом, неравенство x^2 + 3x - 20 >= 0 выполняется при x < -5 и x > 4.

Теперь объединим интервалы для каждого неравенства и определим общий интервал, при котором оба неравенства будут выполняться:

-7 < x < 2 и x < -5 и x > 4

Объединив интервалы, получим:

-7 < x < 2

Таким образом, система неравенств 3 - x >= 3x - 5 + x^2 - x - 12 < 0 имеет бесконечное количество целых решений, так как любое целое число из интервала (-7, 2) будет удовлетворять системе неравенств.