Question

Доказать тождество: cos 4α + 1 = 0,5 sin 4α (ctg α – tg α)

Answer 1

Используя формулу для разности квадратов двух чисел,получаем:
 sin 4a-cos 4a=(sin 2a+cos 2a) (sin 2a-cos 2a)
Но sin 2a+con 2a=1 Поэтому
sin 4a-con 4a= sin 2a-con 2a,что и требовалось доказать.
Извините за фотографию в перевёрнутом виде( 

Answer 2

Давайте рассмотрим левую и правую части данного тождества и убедимся, что они равны.

Левая часть: \[ \cos^4{\alpha} + 1 \]

Используем формулу для квадрата косинуса: \[ \cos^2{\alpha} = \frac{1 + \cos{2\alpha}}{2} \]

Теперь возводим это в квадрат: \[ (\cos^2{\alpha})^2 = \left(\frac{1 + \cos{2\alpha}}{2}\right)^2 \]

Раскрываем скобки: \[ \frac{(1 + \cos{2\alpha})^2}{4} \]

Упрощаем выражение: \[ \frac{1 + 2\cos{2\alpha} + \cos^2{2\alpha}}{4} \]

Теперь используем формулу для косинуса в квадрате: \[ \frac{1 + 2\cos{2\alpha} + \frac{1 + \cos{4\alpha}}{2}}{4} \]

Упрощаем выражение: \[ \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos{2\alpha} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\cos{4\alpha} \]

Собираем подобные члены: \[ \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos{2\alpha} + \frac{1}{8}\cos{4\alpha} \]

Теперь добавляем 1: \[ \frac{11}{8} + \frac{1}{2}\cos{2\alpha} + \frac{1}{8}\cos{4\alpha} \]

Правая часть: \[ 0.5\sin{4\alpha} + (\cot{\alpha} - \tan{\alpha}) \]

Используем формулы для синуса и котангенса: \[ 0.5(2\sin{2\alpha}\cos{2\alpha}) + \left(\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} - \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\right) \]

Раскрываем синус и косинус в произведении: \[ \sin{2\alpha}\cos{2\alpha} + \left(\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} - \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\right) \]

Умножаем числитель и знаменатель второго слагаемого на \(\cos{\alpha}\sin{\alpha}\), чтобы привести к общему знаменателю: \[ \sin{2\alpha}\cos{2\alpha} + \frac{\cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha}}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}} \]

Теперь используем тригонометрические тождества \(\cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha} = \cos{2\alpha}\) и \(\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}\): \[ \frac{1}{2}\sin{4\alpha} + \frac{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}} \]

Сокращаем \(\sin{\alpha}\cos{\alpha}\) в числителе и знаменателе: \[ \frac{1}{2}\sin{4\alpha} + 2 \]

Теперь приравниваем левую и правую части: \[ \frac{11}{8} + \frac{1}{2}\cos{2\alpha} + \frac{1}{8}\cos{4\alpha} = \frac{1}{2}\sin{4\alpha} + 2 \]

Умножим обе стороны на 8, чтобы избавиться от знаменателей: \[ 11 + 4\cos{2\alpha} + \cos{4\alpha} = 4\sin{4\alpha} + 16 \]

Теперь выразим \(\cos{2\alpha}\) и \(\cos{4\alpha}\) через \(\sin{2\alpha}\) и \(\sin{4\alpha}\), используя тригонометрические тождества: \[ 11 + 4(1 - 2\sin^2{\alpha}) + (1 - 8\sin^2{\alpha} + 16\sin^4{\alpha}) = 4(4\sin{\alpha}\cos{\alpha}) + 16 \]

Упростим выражение: \[ 11 + 4 - 8\sin^2{\alpha} + 1 - 8\sin^2{\alpha} + 16\sin^4{\alpha} = 16\sin{\alpha}\cos{\alpha} + 16 \]

Соберем подобные члены: \[ 16\sin^4{\alpha} - 16\sin^2{\alpha} + 16\sin{\alpha}\cos{\alpha} - 6 = 0 \]

Теперь преобразуем левую часть: \[ 16(\sin^4{\alpha} - \sin^2{\alpha} + \sin{\alpha}\cos{\alpha}) - 6 = 0 \]

Факторизуем выражение: \[ 16\sin{\alpha}(\sin^3{\alpha} - \sin{\alpha} + \cos{\alpha}) - 6 = 0 \]

Таким образом, левая и правая части не совпадают, и тождество, вероятно, не выполняется. Возможно, в формулировке есть ошибка или недостающая информация. Пожалуйста, проверьте условия задачи или предоставьте дополнительные сведения.