Question

Довести, що число 144^8 - 12^14 * 44 закінчується двома нулями

Answer 1

144^8-12^14 * 44 = (12^2)^8-12^14 * 44 = 12^16-12^14 * 44 =
12^14 * (12^2 - 44)= 12^14 * (144 - 44) = 12^14 * 100 - закінчується двома нулями

Answer 2

Для того чтобы доказать, что число 144^8 - 12^14 * 44 заканчивается двумя нулями, нужно показать, что оно делится на 100 без остатка.

Для этого проделаем несколько шагов:

1. Разложим число 144 на множители: 144 = 2^4 * 3^2.

2. Теперь рассмотрим выражение 144^8 - 12^14 * 44:

144^8 = (2^4 * 3^2)^8 = 2^(4*8) * 3^(2*8) = 2^32 * 3^16. 12^14 * 44 = (2^2 * 3)^14 * 2^2 * 11 = 2^(2*14+2) * 3^14 * 11 = 2^30 * 3^14 * 11.

3. Подставляем значения в выражение:

144^8 - 12^14 * 44 = 2^32 * 3^16 - 2^30 * 3^14 * 11.

4. Факторизуем общие множители:

144^8 - 12^14 * 44 = 2^30 * (2^2 * 3^16 - 3^14 * 11).

5. Заметим, что 2^2 * 3^16 - 3^14 * 11 = 9 * (3^14 * 4 - 11).

6. Коэффициент 9 гарантирует, что число кратно 9. Для доказательства кратности числа 11, возьмем его остаток при делении на 11:

3^14 * 4 ≡ (3^6)^2 * 4 ≡ (729^2) * 4 ≡ (6^2) * 4 ≡ 36 * 4 ≡ 144 ≡ 1 (mod 11).

Значит, 3^14 * 4 - 11 делится на 11.

7. Так как число 3^14 * 4 - 11 делится и на 9, и на 11, оно также делится на их НОК, то есть на 99.

Поэтому число 2^30 * (2^2 * 3^16 - 3^14 * 11) делится на 99.

8. Для доказательства кратности числа 100, нужно показать, что число 2^30 * (2^2 * 3^16 - 3^14 * 11) делится на 4 и на 25.

Поскольку 2^30 делится на 4 (так как содержит фактор 2^2), а 99 содержит фактор 25, то и их произведение, 2^30 * 99, будет делиться на 4 и 25.

9. Итак, число 2^30 * (2^2 * 3^16 - 3^14 * 11) делится на 99, 4 и 25, а следовательно, оно делится на 100.

Таким образом, число 144^8 - 12^14 * 44 оканчивается двумя нулями.