Question

Найти наибольшее значение функции f(x)=2-5sin7x.

Answer 1

Решение: Область значений функции синус лежит в пределах от -1 включительно до 1 включительно, пользуясь переходами к еквивалентным неравенствам, имеем

-1<=sin 7x<=1               | *(-5)

-5<=-5sin 7x<=5            |   +2

-3=2-5<=2-5sin 7x<=2+5=7

значит наибольшее значение данной функции 7 и достигается оно когда

sin 7x=1, то есть когда 7х=pi\2+2*pi*k, где к- целое,

  х=pi\14+2\7*pi*k, где к- целое

Ответ: наибольше значение функции 7

Answer 2

Область значений функции у=sin x равняется [-1;1]. Имеем:

-1 ≤ sin 7x ≤ 1

Умножаем на -5.

-5 ≤ -5 sin 7x ≤ 5

Прибавляем 2.

-3 ≤ 2-5 sin 7x ≤ 7

 

Значит, наибольшее значение функции равно 7. 

Answer 3

Для нахождения наибольшего значения функции \( f(x) = 2 - 5\sin(7x) \), мы можем воспользоваться производной функции. Найдем производную и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки. После этого, мы сможем определить, где функция достигает максимального значения.

1. Найдем производную функции \( f(x) \): \[ f'(x) = 0 - 5 \cdot 7 \cdot \cos(7x) = -35\cos(7x) \]

2. Приравняем производную к нулю: \[ -35\cos(7x) = 0 \]

Это уравнение будет равно нулю, когда \( \cos(7x) = 0 \). Косинус равен нулю при \( 7x = \frac{\pi}{2} + k\pi \), где \( k \) - целое число.

3. Решим уравнение для \( x \): \[ 7x = \frac{\pi}{2} + k\pi \] \[ x = \frac{\pi}{14} + \frac{k\pi}{7} \]

Теперь у нас есть выражение для критических точек функции.

4. Чтобы определить, где функция имеет максимальное значение, мы можем взять вторую производную и использовать критерий второй производной.

\[ f''(x) = 35 \cdot 7 \cdot \sin(7x) = 245\sin(7x) \]

Если \( f''(x) < 0 \) в каком-то интервале, то функция выпукла вниз на этом интервале, и это место является местом локального максимума.

Поскольку \(\sin(7x)\) меняет знаки при \(x = \frac{\pi}{7} + \frac{k\pi}{7}\) (где \(k\) - целое число), мы можем оценить интервалы, где вторая производная отрицательна. После этого, мы можем проверить значения на концах этих интервалов и в критических точках.

Важно отметить, что так как функция \( f(x) = 2 - 5\sin(7x) \) периодична с периодом \( \frac{2\pi}{7} \), мы можем ограничить наше рассмотрение интервалом \( [0, \frac{2\pi}{7}] \), и затем, если нужно, продолжить на другие интервалы.

Теперь вы можете рассмотреть значения функции в критических точках и на концах интервала, чтобы найти наибольшее значение.