Question

Докажите неравенство (3у-1) (2у+4)>(2у+1)(2+3у)

Answer 1

6У²+12У-2У-4>4У+6У²+2+3У       10У-4>7У+2      3У>6     У>2
    ДОКАЖЕМ ЭТО НЕРАВЕНСТВО    ВОЗЬМЕМ У=3   И ПОДСТАВИМ В УРАВНЕНИЕ      (3*3-1)(2*3+4)>(2*3+1)(2+3*3)   8*10>7*11   80>77
       

Answer 2

Дано неравенство: (3у-1)+(2у+4)>(2у+1)(2+3у)

Распишем каждую часть неравенства и проведем вычисления:

3у - 1 + 2у + 4 > (2у + 1)(2 + 3у)

5у + 3 > 4у + 2 + 6у² + 3у

Соберем все слагаемые в одну часть неравенства, чтобы получить квадратное уравнение:

0 > 6у² + 3у + 4у - 5у + 2 - 3

Упростим:

0 > 6у² + 7у - 1

Для доказательства неравенства, нужно найти корни этого квадратного уравнения. Если существуют корни, то можно преобразовать неравенство и решить его для определения интервалов, где оно выполняется.

Для нахождения корней квадратного уравнения, воспользуемся формулой дискриминанта и далее примем во внимание знак этого дискриминанта.

Дискриминант D вычисляется по формуле: D = b² - 4ac

В нашем случае: a = 6, b = 7, c = -1

D = (7)² - 4(6)(-1) = 49 + 24 = 73

Так как дискриминант D больше нуля, то квадратное уравнение имеет два вещественных корня.

Корни квадратного уравнения найдем по формуле: у = (-b ± √D)/(2a)

у = (-7 ± √73)/(2·6)

Решив данное уравнение, получим:

у₁ ≈ -1.37 у₂ ≈ 0.20

Это значит, что на промежутках между корнями неравенство может иметь разное значение.

Неравенства меняются при переходе через корни, поэтому определим интервалы, в которых неравенство выполняется.

Учитывая найденные корни, можно разделить координатную прямую на три интервала:

-∞ < у < -1.37 -1.37 < у < 0.20 0.20 < у < +∞

Подставим каждый интервал в исходное неравенство и проанализируем его выполнение.

1) Для у < -1.37:

(3у-1)+(2у+4)>(2у+1)(2+3у) (3*(-1.37)-1)+(2*(-1.37)+4)>(2*(-1.37)+1)(2+3*(-1.37)) -4.11 - 1 - 2.74 + 4 > -2.74 + 1 > -4.48 > -1.74 Данное неравенство не выполняется при значениях у < -1.37.

2) Для -1.37 < у < 0.20:

(3у-1)+(2у+4)>(2у+1)(2+3у) (3*(-0.50)-1)+(2*(-0.50)+4)>(2*(-0.50)+1)(2+3*(-0.50)) -1.50 - 1 - 1 + 4 > -1 + 1 > -0.50 > 0 Данное неравенство выполняется при значениях -1.37 < у < 0.20.

3) Для у > 0.20:

(3у-1)+(2у+4)>(2у+1)(2+3у) (3*1.37-1)+(2*1.37+4)>(2*1.37+1)(2+3*1.37) 4.11 - 1 + 2.74 + 4 > 2.74 + 1 > 0.48 > 3.74 Данное неравенство не выполняется при значениях у > 0.20.

Таким образом, неравенство (3у-1)+(2у+4)>(2у+1)(2+3у) выполняется только на интервале -1.37 < у < 0.20.