Question

Найдите число членов арифметической прогрессии, у которой отношение суммы первых 13 членов к сумме последних 13 членов равно 1/2, а отношение суммы всех членов без первых трех к сумме членов без последних трех равно 4/3.

Answer 1

Пусть наши член равны 
$a_{1};a_{2};a_{3};a_{4}....a_{n}$ 
$1.$по первому условию , сумма равна 
$\frac{a_{1}+a_{2}+...a_{13}}{a_{n-12}...+a_{n-1}+a_{n}}=0.5$
это же условие можно переписать в виде 
$S_{13}=(a_{1}+6d)*13$
а последний 13 можно в виде 
$S_{13}'=13(a_{1}+d(n-7))$
по условию следует что 
$\frac{a_{1}+6d}{a_{1}+d(n-7)} = \frac{1}{2}$
$2.$ По второму условию задачи следует что 
$S_{n}-(a_{1}+a_{2}+a_{3})$
ее можно переписать в виде 
$\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n - (3a_{1}+3d)$
а последние без трех можно переписать в виде 
$\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n-(3a_{1}+d(3n-6))$
заметим то что 
$\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n - (3a_{1}+3d) = (\frac{n}{2}-\frac{3}{2})(dn+2d+2a_{1})$
$\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n-(3a_{1}+d(3n-6)) = (\frac{n}{2}-\frac{3}{2})(dn-4d+2a_{1})$
по условию получаем 
$\frac{dn+2d+2a_{1}}{dn-4d+2a_{1}}=\frac{4}{3}$

получаем систему уравнений
$\frac{a_{1}+6d}{a_{1}+d(n-7)} = \frac{1}{2}\\ \frac{dn+2d+2a_{1}}{dn-4d+2a_{1}}=\frac{4}{3}\\ \\ 2(a_{1}+6d)=a_{1}+dn-7d\\ 3(dn+2d+2a_{1})=4(dn-4d+2a_{1})\\ \\ a_{1}+19d=dn\\ 22d-2a_{1}=dn\\ \\ a_{1}+19d=22d-2a_{1}\\ 3a_{1}=3d\\ a_{1}=d\\ \\ \frac{7d}{d+dn-7d}=0.5\\ \frac{dn+4d}{dn-2d}=\frac{4}{3}\\\\ 7d=0.5d+0.5dn-3.5d\\ 3dn+12d=4dn-8d\\\\ n=20$
Ответ  $20$

Answer 2

Пусть первый член арифметической прогрессии равен a, а разность прогрессии равна d. Тогда сумма первых 13 членов равна 13/2 * (2a + 12d), а сумма последних 13 членов равна 13/2 * (2a + 36d).

Из условия задачи имеем:

13/2 * (2a + 12d) / (13/2 * (2a + 36d)) = 1/2

Упростим выражение:

(2a + 12d) / (2a + 36d) = 1/2

2(2a + 12d) = 2a + 36d

4a + 24d = 2a + 36d

2a = 12d

a = 6d

Также из условия задачи имеем:

(сумма всех членов без первых трех) / (сумма всех членов без последних трех) = 4/3

(13/2 * (2a + 12d) - 3/2 * (2a + d)) / (13/2 * (2a + 36d) - 3/2 * (2a + 33d)) = 4/3

Упростим выражение:

(13(2a + 12d) - 3(2a + d)) / (13(2a + 36d) - 3(2a + 33d)) = 4/3

(26a + 156d - 6a - 3d) / (26a + 468d - 6a - 99d) = 4/3

(20a + 153d) / (20a + 369d) = 4/3

Умножим обе части на (20a + 369d):

(20a + 153d) * (20a + 369d) = (4/3) * (20a + 369d)

Раскроем скобки:

400a^2 + 7380ad + 369d^2 + 3060ad + 56277d^2 = (4/3)(20a + 369d)

Упростим выражение и сократим:

400a^2 + 9920ad + 62805d^2 = 80a + 1476d

400a^2 + 9840ad + 61413d^2 = 0

Получаем систему уравнений:

Система уравнений: 1) 2a = 12d 2) 400a^2 + 9840ad + 61413d^2 = 0

Решив эту систему уравнений, мы найдем значения a и d, а значит и число членов арифметической прогрессии. К сожалению, найти точные значения a и d в данной задаче достаточно сложно без дополнительных условий.