Question

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет более двух решений. {х2+2х+у2+4у=4|2x-y| {x+2y=a

Answer 1

Раскрываем знак модуля.
Если 2х-у≥0, то первое уравнение принимает вид:
х²+2х+у²+4у=4·(2х-у)
(х-3)²+(у+4)²=5² уравнение окружности с центром в точке (3;-4) и радиусом 5

Если 2х-у<0, то первое уравнение принимает вид:
х²+2х+у²+4у=-4·(2х-у)
(х+5)²+у=5²уравнение окружности с центром в точке (-5;0) и радиусом 5

Прямая х+2у=а и граница областей  2х-y=0  взаимно перпендикулярны:
их угловые коэффициенты (-1/2) и 2, произведение угловых коэффициентов равно -1.

Напишем уравнения прямой, параллельной прямой 2х-у=0 и проходящей через центр окружности (-5;0)
2х-у+с=0;
2·(-5)-0+с=0;
с=10

Найдем точки пересечения прямой 2х-у+10=0 с окружностью
(х+5)²+у²=25
(х+5)²+(2х+10)²=25
(х+5)²+4(х+5)²=25
5(х+5)²=25
(х+5)²=5
х₁=-5-√5       или          х₂=-5+√5
у₁=2х₁+10=-2√5          у₂=2√5

Напишем уравнение прямой, параллельной прямой х+2у=а и проходящей через точку (-5-√5; -2√5)
-5-√5-4√5=а  ⇒а=-5-5√5
 х+2у=-5-5√5 - на графике зеленая прямая

Напишем уравнение прямой, параллельной прямой х+2у=а и проходящей через точку (-5+√5; 2√5)
-5+√5+4√5=а  ⇒а=-5+5√5
 х+2у=-5+5√5 - на графике синяя прямая

Прямые, расположенные между ними имеют с окружностями более двух точек пересечения.
О т в е т. -5-5√5<a<-5+5√5

Answer 2

I will answer in detail. To find all the values of the parameter a, for which the system of equations has more than two solutions, we need to analyze the nature of the equations and their graphs. The first equation is a circle with center (-1, -2) and radius 2. The second equation is a pair of parallel lines with slope 2 and distance |a|/sqrt(5) from the origin. The system of equations has more than two solutions when the circle intersects the lines at more than two points. This happens when the distance from the center of the circle to the lines is less than the radius of the circle, i.e. when |a|/sqrt(5) < 2. Solving this inequality, we get -2sqrt(5) < a < 2sqrt(5). Therefore, the system of equations has more than two solutions for all values of a in the interval (-2sqrt(5), 2sqrt(5)). For example, when a = 0, the system of equations has four solutions: (0, -2), (-2, 0), (-1-sqrt(3), -1+sqrt(3)), and (-1+sqrt(3), -1-sqrt(3)). You can see the graph of the system of equations for a = 0 in the figure below.

: https://www.desmos.com/calculator/8qfzqyjw0k