Question

Разложить на множители и решить по теореме виета: 1)х³+4х²-21х 2)х³-9х²-22х

Answer 1

1) х(х²+4х-21)=х(х+7)(х-3)
$x_{1} + x_{2} =$ -4      $x_{1}$ = -7
$x_{1} * x_{2}$ = -21    $x_{2}$ = 3
2) х(х²-9х-22)=х(х-11)(х+2)
$x_{1}+ x_{2}$ = 9       $x_{1}$ = 11
$x_{1} * x_{2}$ = -22    $x_{2}$ = -2

Answer 2

Разложение на множители и решение по теореме Виета

Для решения задачи нам необходимо разложить заданные полиномы на множители и затем использовать теорему Виета для нахождения корней полиномов.

*1) Разложение на множители и решение для полинома х³ + 4х² - 21х + 2:*

Для начала, нам нужно найти множитель, который является корнем полинома. Мы можем использовать различные методы, такие как подстановка или использование рациональных корней теоремы Виета, чтобы найти корень.

Попробуем сначала подставить некоторые значения для х и проверить, равен ли полином нулю при этих значениях:

Подставим х = 1: 1³ + 4*1² - 21*1 + 2 = 1 + 4 - 21 + 2 = -14 Подставим х = -1: (-1)³ + 4*(-1)² - 21*(-1) + 2 = -1 + 4 + 21 + 2 = 26

Мы видим, что при х = -1 полином равен нулю. Значит (х + 1) является множителем полинома.

Теперь мы можем разделить полином на (х + 1) с помощью деления полиномов. Результатом этого деления будет квадратный трехчлен.

(x³ + 4x² - 21x + 2) / (x + 1) = x² + 3x - 24

Теперь мы можем разложить полученный квадратный трехчлен на множители. Мы ищем два числа, такие что их сумма равна коэффициенту при x, а их произведение равно свободному члену. В данном случае коэффициент при x равен 3, а свободный член равен -24.

Разложим x² + 3x - 24 на множители:

(x - 3)(x + 8)

Теперь мы имеем разложение исходного полинома на множители:

x³ + 4x² - 21x + 2 = (x + 1)(x - 3)(x + 8)

Теперь мы можем использовать теорему Виета для нахождения корней полинома. Теорема Виета гласит, что сумма корней полинома равна противоположному коэффициенту перед старшей степенью и что произведение корней равно свободному члену (коэффициенту при x^0).

Таким образом, сумма корней полинома равна -4 и произведение корней равно -2.

Ответ: Корни полинома х³ + 4х² - 21х + 2 равны -1, 3 и -8.

*2) Разложение на множители и решение для полинома х³ - 9х² - 22х:*

Аналогично предыдущему примеру, мы сначала попробуем подставить некоторые значения для х и проверить, равен ли полином нулю при этих значениях:

Подставим х = 1: 1³ - 9*1² - 22*1 = 1 - 9 - 22 = -30 Подставим х = -1: (-1)³ - 9*(-1)² - 22*(-1) = -1 - 9 + 22 = 12

Мы видим, что при х = -1 полином равен нулю. Значит (х + 1) является множителем полинома.

Теперь мы можем разделить полином на (х + 1) с помощью деления полиномов. Результатом этого деления будет квадратный трехчлен.

(x³ - 9x² - 22x) / (x + 1) = x² - 10x - 22

Теперь мы можем разложить полученный квадратный трехчлен на множители. Мы ищем два числа, такие что их сумма равна коэффициенту при x, а их произведение равно свободному члену. В данном случае коэффициент при x равен -10, а свободный член равен -22.

Разложим x² - 10x - 22 на множители:

(x - 11)(x + 2)

Теперь мы имеем разложение исходного полинома на множители:

x³ - 9x² - 22x = (x + 1)(x - 11)(x + 2)

Теперь мы можем использовать теорему Виета для нахождения корней полинома. Теорема Виета гласит, что сумма корней полинома равна противоположному коэффициенту перед старшей степенью и что произведение корней равно свободному члену (коэффициенту при x^0).

Таким образом, сумма корней полинома равна 9 и произведение корней равно 22.

Ответ: Корни полинома х³ - 9х² - 22х равны -1, 11 и -2.