Question

Решите уравнение 1+соs x=2sin^2 x

Answer 1

$1 + cosx = 2sin^2x \\ \\ 1 + cosx = 2 - 2cos^2x \\\\ 2cos^2x + cosx - 1 = 0$
Пусть $t = cosx, \ |t| \leq 1$
$2t^2 + t - 1 = 0 \\ \\ D = 1 + 8 = 9 = 3^2 \\ \\ t_1 = \dfrac{-1 + 3}{4} = \dfrac{1}{2} \\ \\ t_2 = \dfrac{-1 - 3}{4} = -1$
Обратная замена:
$cosx = \dfrac{1}{2} \\ \\ \boxed{x = \pm \dfrac{ \pi }{3} + 2 \pi n, \ n \in Z }\\ \\ cosx = -1 \\ \\ \boxed{x = \pi + 2 \pi n, \ n \in Z}$

Answer 2

Давайте решим уравнение \(1 + \cos(x) = 2\sin^2(x)\). Прежде чем начать, учтем, что \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) (тригонометрическая тождественность).

Перепишем уравнение, используя это тождество:

\[1 + \cos(x) = 2(1 - \cos^2(x))\]

Раскроем скобки:

\[1 + \cos(x) = 2 - 2\cos^2(x)\]

Теперь приведем подобные слагаемые:

\[\cos(x) + 2\cos^2(x) = 1\]

Переносим все члены уравнения на одну сторону:

\[2\cos^2(x) + \cos(x) - 1 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\cos(x)\). Решим его, используя квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 2\), \(b = 1\), и \(c = -1\).

\[2\cos^2(x) + \cos(x) - 1 = 0\]

\[D = b^2 - 4ac\]

\[D = 1 - 4(2)(-1) = 9\]

Так как дискриминант \(D > 0\), у нас есть два корня:

\[\cos(x) = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[\cos(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4}\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения \(\cos(x)\):

1. \(\cos(x) = \frac{1}{2}\) 2. \(\cos(x) = -1\)

Теперь найдем соответствующие значения \(x\):

1. Для \(\cos(x) = \frac{1}{2}\), это соответствует углу \(x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\) и \(x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi\), где \(k\) - любое целое число.

2. Для \(\cos(x) = -1\), это соответствует углу \(x = \pi + 2k\pi\), где \(k\) - любое целое число.

Итак, у уравнения \(1 + \cos(x) = 2\sin^2(x)\) есть три решения:

\[x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\] \[x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi\] \[x = \pi + 2k\pi\]

где \(k\) - любое целое число.