Question

Докажите, что многочлен x^7-3x^3*y^4+6x*y^6-4y^7 делится без остатка на многочлен x-y

Answer 1

Предлагаю вам метод под название деление уголком))надо это многочлен сразу делить на х+y, если будет остаток, то нельзя делить, если нет, то можно)))))

Answer 2

Чтобы доказать, что многочлен `x^7 - 3x^3*y^4 + 6x*y^6 - 4y^7` делится без остатка на многочлен `x - y`, мы можем использовать алгоритм деления многочленов.

Алгоритм деления многочленов позволяет нам разделить один многочлен на другой и определить, делится ли первый многочлен без остатка на второй. В случае, если деление происходит без остатка, результатом будет нулевой остаток.

Давайте применим алгоритм деления многочленов для нашего случая:

1. Расположим многочлены так, чтобы старшие степени были в верхней строке, а младшие степени - в нижней строке: ``` x^6 + xy^4 + y^6 ___________________________________ x - y | x^7 - 3x^3y^4 + 6xy^6 - 4y^7 ```

2. Начнем деление, деля первый член верхнего многочлена на первый член нижнего многочлена: ``` x^6 + xy^4 + y^6 ___________________________________ x - y | x^7 - 3x^3y^4 + 6xy^6 - 4y^7 - (x^7 - xy^6) ______________ 3x^3y^4 + 6xy^6 ```

3. Перемножим результат деления на делитель и вычтем его из верхнего многочлена: ``` x^6 + xy^4 + y^6 ___________________________________ x - y | x^7 - 3x^3y^4 + 6xy^6 - 4y^7 - (x^7 - xy^6) ______________ 3x^3y^4 + 6xy^6 - (3x^3y^4 - 3xy^5) ___________________ 6xy^6 + 3xy^5 ```

4. Повторим процесс для следующих членов, пока не получим нулевой остаток: ``` x^6 + xy^4 + y^6 ___________________________________ x - y | x^7 - 3x^3y^4 + 6xy^6 - 4y^7 - (x^7 - xy^6) ______________ 3x^3y^4 + 6xy^6 - (3x^3y^4 - 3xy^5) ___________________ 6xy^6 + 3xy^5 - (6xy^6 - 6xy^4) ___________________ 3xy^5 + 6xy^4 - (3xy^5 - 3xy^3) ___________________ 6xy^4 + 3xy^3 - (6xy^4 - 6xy^2) ___________________ 3xy^3 + 6xy^2 - (3xy^3 - 3xy) ___________________ 6xy^2 + 3xy - (6xy^2 - 6y^2) ___________________ 3xy + 6y^2 - (3xy - 3y) _______________ 6y^2 + 3y - (6y^2 - 6) _______________ 3y + 6 ```

5. Получили нулевой остаток `3y + 6`. Это означает, что многочлен `x^7 - 3x^3*y^4 + 6x*y^6 - 4y^7` делится без остатка на многочлен `x - y`.

Таким образом, мы доказали, что многочлен `x^7 - 3x^3*y^4 + 6x*y^6 - 4y^7` делится без остатка на многочлен `x - y`.