Question

В равностороннем треугольнике высота равна 12 дм. найдите радиус вписанной окружности в этот треугольник

Answer 1

Это же равносторонний треугольник , если высота равна 12, то радиус равен 6

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой, и все углы равны 60 градусам. Помимо этого, мы можем использовать формулу площади треугольника через высоту:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h, \]

где \( a \) - длина стороны треугольника, \( h \) - высота, проведенная к этой стороне, \( S \) - площадь треугольника.

Также, мы знаем, что площадь треугольника можно выразить через его полупериметр (\( p \)) и радиус вписанной окружности (\( r \)):

\[ S = p \cdot r. \]

Полупериметр равностороннего треугольника можно выразить как:

\[ p = \frac{3a}{2}. \]

Теперь у нас есть две формулы для площади треугольника, и мы можем приравнять их:

\[ \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{3a}{2} \cdot r. \]

Так как у нас равносторонний треугольник, то мы знаем, что высота делит его на два равнобедренных треугольника. Таким образом, мы можем выразить высоту через сторону треугольника:

\[ h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}. \]

Подставим это выражение в уравнение для площади:

\[ \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3a}{2} \cdot r. \]

Решим это уравнение относительно радиуса (\( r \)):

\[ \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a}{2} \cdot r. \]

Упростим:

\[ \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a = \frac{3}{2} \cdot r. \]

Теперь выразим радиус (\( r \)):

\[ r = \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot a. \]

Мы знаем, что высота треугольника равна 12 дм. Так как у нас равносторонний треугольник, все стороны также равны, и мы можем обозначить длину стороны как \( a \). Тогда:

\[ h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = 12. \]

Решим это уравнение относительно \( a \):

\[ \frac{a\sqrt{3}}{2} = 12. \]

\[ a = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}. \]

Теперь подставим значение стороны в выражение для радиуса:

\[ r = \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot 8\sqrt{3} = \sqrt{3}. \]

Таким образом, радиус вписанной окружности равен \(\sqrt{3}\) дм.