Question

Решите уравнение 2sin^2x-sinx×cosx=cos^2x

Answer 1

Разделим обе части уравнения на $\cos^2x\ne0$, получим

$2tg^2x-tgx-1=0$

Решив это уравнение как квадратное уравнение относительно tg x, имеем

$D=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-1)=9$

$tgx= \dfrac{1+3}{4} =1;~~~~~\Rightarrow~~~~~ \boxed{x_1= \frac{\pi}{4}+ \pi n,n \in \mathbb{Z} }\\ \\ \\ tg x=\dfrac{1-3}{4} =-0.5;~~~~\Rightarrow~~~~ \boxed{x_2=-arctg0.5+ \pi n,n \in \mathbb{Z}}$

Answer 2

Давайте решим уравнение по шагам.

У нас есть уравнение:

\[2\sin^2(x) - \sin(x) \cdot \cos(x) = \cos^2(x)\]

Давайте заменим \(\sin^2(x)\) на \(1 - \cos^2(x)\), используя тригонометрическое тождество \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\):

\[2(1 - \cos^2(x)) - \sin(x) \cdot \cos(x) = \cos^2(x)\]

Распишем умножение и приведем подобные члены:

\[2 - 2\cos^2(x) - \sin(x) \cdot \cos(x) = \cos^2(x)\]

Теперь переносим все члены в одну сторону уравнения:

\[2 - 2\cos^2(x) - \sin(x) \cdot \cos(x) - \cos^2(x) = 0\]

Упростим выражение:

\[-2\cos^2(x) - \cos^2(x) - \sin(x) \cdot \cos(x) + 2 = 0\]

\[-3\cos^2(x) - \sin(x) \cdot \cos(x) + 2 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\cos(x)\):

\[3\cos^2(x) + \sin(x) \cdot \cos(x) - 2 = 0\]

Решим это квадратное уравнение. Обозначим \(\cos(x)\) за \(t\):

\[3t^2 + t - 2 = 0\]

Факторизуем:

\[(3t - 2)(t + 1) = 0\]

Отсюда получаем два возможных значения \(t\):

1. \(3t - 2 = 0 \Rightarrow t = \frac{2}{3}\) 2. \(t + 1 = 0 \Rightarrow t = -1\)

Теперь вспомним, что \(t = \cos(x)\). Решим уравнение относительно \(x\) для каждого значения \(t\):

1. \( \cos(x) = \frac{2}{3} \). В этом случае \( x = \arccos\left(\frac{2}{3}\right) \). 2. \( \cos(x) = -1 \). В этом случае \( x = \pi \) (или любое другое значение, которое отличается от \(\pi\) на целое число умноженное на \(2\pi\), так как \(\cos(\pi) = -1\)).

Таким образом, уравнение имеет два решения:

\[ x = \arccos\left(\frac{2}{3}\right) \] \[ x = \pi + 2k\pi \, \text{, где } k \, \text{— целое число}\]