Question

Блок 3. Найдите производные тригонометрических функций f(x)=1-cosx/(1+cosx)^2

Answer 1

$y= \frac{1-cosx}{(1+cosx)^2} \\\\y'= \frac{sinx(1+cosx)^2-(1-cosx)\cdot 2(1+cosx)\cdot (-sinx)}{(1+cosx)^4} =\\\\=\frac{sinx(1+cosx)+2sinx(1-cosx)}{(1+cosx)^3}=\frac{sinx(3-cosx)}{(1+cosx)^3}$

Answer 2

Для нахождения производной функции f(x) = (1 - cosx) / (1 + cosx)^2, мы будем использовать правило дифференцирования частного и правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

Давайте начнем с разложения функции f(x) на две функции: f(x) = u(x) / v(x), где u(x) = (1 - cosx) и v(x) = (1 + cosx)^2.

Теперь мы можем применить правило дифференцирования частного, которое гласит, что производная функции f(x) равна (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / v(x)^2.

Давайте посчитаем производные u'(x) и v'(x):

u'(x) = (d/dx)(1 - cosx) = 0 + sinx = sinx

v'(x) = (d/dx)(1 + cosx)^2 = 2(1 + cosx)(-sinx) = -2sinx(1 + cosx)

Теперь мы можем подставить значения производных в формулу для производной функции:

f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / v(x)^2 = (sinx * (1 + cosx)^2 - (1 - cosx) * (-2sinx(1 + cosx))) / (1 + cosx)^4 = (sinx * (1 + cosx)^2 + 2sinx(1 - cosx)(1 + cosx)) / (1 + cosx)^4 = (sinx * (1 + cosx)^2 + 2sinx(1 - cos^2x)) / (1 + cosx)^4 = (sinx * (1 + cosx)^2 + 2sinx * sin^2x) / (1 + cosx)^4 = (sinx * (1 + cosx)^2 + 2sinx * (1 - cos^2x)) / (1 + cosx)^4 = (sinx * (1 + cosx)^2 + 2sinx - 2sinx * cos^2x) / (1 + cosx)^4 = (sinx + sinx * cos^2x + 2sinx - 2sinx * cos^2x) / (1 + cosx)^4 = (3sinx - sinx * cos^2x) / (1 + cosx)^4

Таким образом, производная функции f(x) равна (3sinx - sinx * cos^2x) / (1 + cosx)^4.