Question

Каково наименьшее натуральное n такое, что n! делится на 2015 ?

Answer 1

2015=5·13*31
n=31
31!=1·2·...·5·...·13·...·31 кратно 2015

О т в е т. n=31

Answer 2

Чтобы найти наименьшее натуральное число \( n \), такое, что \( n! \) делится на 2015, давайте разберемся с факторизацией числа 2015.

Факторизация 2015 выглядит следующим образом:

\[ 2015 = 5 \times 13 \times 31 \]

Чтобы \( n! \) было кратно 2015, необходимо, чтобы \( n! \) содержало все простые множители 2015 в нужных степенях.

Исследуем, сколько раз каждое из простых чисел 5, 13 и 31 входит в разложение факториала \( n!\).

1. Простое число 5: - Подсчитываем количество чисел, кратных 5 в диапазоне от 1 до \( n \). - Подсчитываем количество чисел, кратных 25 (то есть содержащих два множителя 5) в диапазоне от 1 до \( n \). - Складываем эти два значения.

2. Простое число 13: - Подсчитываем количество чисел, кратных 13 в диапазоне от 1 до \( n \).

3. Простое число 31: - Подсчитываем количество чисел, кратных 31 в диапазоне от 1 до \( n \).

Теперь выбираем \( n \) так, чтобы каждый из этих счетчиков был больше или равен соответствующему счетчику в разложении числа 2015.

После проведения вычислений можно получить \( n = 31 \), так как:

- Чисел, кратных 5 в диапазоне от 1 до 31: \( \lfloor \frac{31}{5} \rfloor = 6 \). - Чисел, кратных 25 в диапазоне от 1 до 31: \( \lfloor \frac{31}{25} \rfloor = 1 \). - Чисел, кратных 13 в диапазоне от 1 до 31: \( \lfloor \frac{31}{13} \rfloor = 2 \). - Чисел, кратных 31 в диапазоне от 1 до 31: \( \lfloor \frac{31}{31} \rfloor = 1 \).

Таким образом, наименьшее натуральное число \( n \), такое, что \( n! \) делится на 2015, равно 31.