Question

Найти седьмой член и знаминатель геометрической прогрессий с положиительными членами если, b2 = 9, b8 = 32 Найти пятый и первый члены геомтрических прогрессий, если: b4 = 9, b6 = 4.

Answer 1

1. b2=9   b8=3   b2=b1*q   b8=b1*q⁷   b8/b2=1/3=q⁶   q=⁶√1/3
   b1=b2/q=9/q=9/⁶√1/3=9⁶√3
   b7=b1*q⁶=9⁶√3*1/3=3(⁶√3)

2. b4=b1*q³=9   b6=b1*q⁵=4     b6/b4=4/9=q²   q=2/3,-2/3
    b1=9/q³=9*27/8=30.375; -30.375
    b5=b1*q⁴=30.375*16/81=6

Answer 2

Давайте рассмотрим геометрическую прогрессию (ГП) с положительными членами. Предположим, что общий знаменатель этой прогрессии равен \( q \), а первый член равен \( a \).

1. Найти седьмой член и знаменатель геометрической прогрессии: Для ГП с общим знаменателем \( q \), \( b_n = a \cdot q^{(n-1)} \), где \( b_n \) - n-й член прогрессии.

У нас есть \( b_2 = 9 \) и \( b_8 = 32 \). Подставим значения и решим систему уравнений:

\[ \begin{cases} b_2 = a \cdot q \\ b_8 = a \cdot q^7 \end{cases} \]

Подставляем известные значения:

\[ \begin{cases} 9 = a \cdot q \\ 32 = a \cdot q^7 \end{cases} \]

Из первого уравнения получаем \( a = \frac{9}{q} \), подставляем это значение во второе уравнение:

\[ 32 = \frac{9}{q} \cdot q^7 \]

Упрощаем уравнение:

\[ 32 = 9 \cdot q^6 \]

Решаем относительно \( q \):

\[ q^6 = \frac{32}{9} \]

\[ q = \sqrt[6]{\frac{32}{9}} \]

Теперь, имея \( q \), можем найти любой член прогрессии. Для седьмого члена (\( b_7 \)):

\[ b_7 = a \cdot q^6 \]

2. Найти пятый и первый члены геометрических прогрессий: Теперь у нас есть \( a \) и \( q \). Мы знаем, что \( b_4 = 9 \) и \( b_6 = 4 \). Используем формулу для \( b_n \):

\[ \begin{cases} b_4 = a \cdot q^3 = 9 \\ b_6 = a \cdot q^5 = 4 \end{cases} \]

Из первого уравнения находим \( a \):

\[ a = \frac{9}{q^3} \]

Подставляем это значение во второе уравнение:

\[ \frac{9}{q^3} \cdot q^5 = 4 \]

Упрощаем:

\[ 9 \cdot q^2 = 4 \]

Решаем относительно \( q \):

\[ q^2 = \frac{4}{9} \]

\[ q = \sqrt{\frac{4}{9}} \]

Теперь мы можем найти первый член (\( b_1 \)) и пятый член (\( b_5 \)) прогрессии, используя формулу \( b_n = a \cdot q^{(n-1)} \).