Question

Log 0.25(x^2+3x)<=-1

Answer 1

$\log_{0.25}(x^2+3x) \leq -1$
ОДЗ:
$x^2+3x\ \textgreater \ 0$
$x(x+3)\ \textgreater \ 0$
Получаем интервалы:
$(-\infty,-3)(-3,0)(0,+\infty)$
Проверяем знаки:
$(-\infty,-3)=+$
$(-3,0)=-$
$(0,+\infty)=+$
$(-\infty,-3)\cup(0,+\infty)$

Так как основание меньше единицы, и больше нуля. Получаем эквивалентную формулу:
$x(x+3) \geq 0,25^{-1}$
$x(x+3) \geq 4$

$x^2+3x-4 \geq 0$
Упростим:
$x^2-x+4x-4 \geq 0$
$(x+4)(x-1) \geq 0$
ОДЗ:
Приравняв к нулю, находи корни, и получаем следующие интервалы:

$(\infty,-4)(-4,1)(1,+\infty)$
Знаки:
$(\infty,-4)=+$
$(-4,1)=-$
$(1,+\infty)=+$

Интервалы пересекаются, отсюда следует следующее решение:
$(-4,-3)\cup(0,1)$

Answer 2

Чтобы решить неравенство \(\log_{0.25}(x^2 + 3x) \leq -1\), давайте следовать нескольким шагам.

1. Исключение из под логарифма. Начнем с исключения \(x^2 + 3x\) из-под логарифма: \[\log_{0.25}(x^2 + 3x) \leq -1\]

2. Применение определения логарифма. Заметим, что \(\log_{0.25}(x^2 + 3x) \leq -1\) означает, что \(0.25^{-1} \leq x^2 + 3x\). Это происходит потому, что логарифм с основанием \(0.25\) равен \(-1\) означает, что \(0.25^{-1}\) равно значению внутри логарифма.

3. Упрощение. Решим неравенство: \[4 \leq x^2 + 3x\]

4. Приведение к квадратному уравнению. Перепишем уравнение в квадратном виде: \[x^2 + 3x - 4 \geq 0\]

5. Факторизация или использование дискриминанта. Мы можем факторизовать это уравнение: \((x - 1)(x + 4) \geq 0\).

6. Получение интервалов. Теперь мы можем определить интервалы, в которых это уравнение выполнено. Это происходит, когда оба множителя одновременно положительны или отрицательны. Таким образом, решение - \((- \infty, -4] \cup [1, +\infty)\).

Итак, решение неравенства \(\log_{0.25}(x^2 + 3x) \leq -1\) в виде интервалов: \((- \infty, -4] \cup [1, +\infty)\).