Question

Найти неопределенные интегралы способом подстановки

Answer 1

Это определенный интеграл: есть пределы интегрирования.

$\int\limits^a_b {10t* \sqrt{t^2-3} } \, dt = \int\limits^a_b {5 \sqrt{t^2-3} } \, d(t^2)=$

$5\int\limits^a_b {\sqrt{t^2-3} } \, d(t^2-3)= \frac{5*2}{3} (t^2-3)^{\frac{3}{2}}|^b_a=$

$= \frac{10}{3} (t^2-3)^{\frac{3}{2}}|^b_a=\frac{10}{3}((b^2-3)^{\frac{3}{2}}-(a^2-3)^{\frac{3}{2}})$

___________________________________________________________
Это неопределенный интеграл

$\int {10t* \sqrt{t^2-3} } \, dt = \int {5 \sqrt{t^2-3} } \, d(t^2)=$

$=5\int{\sqrt{t^2-3} } \, d(t^2-3)= \frac{5*2}{3} (t^2-3)^{\frac{3}{2}}=\frac{10}{3} (t^2-3)^{\frac{3}{2}}$

Answer 2

Неопределенные интегралы и метод подстановки

Неопределенный интеграл - это обратная операция к дифференцированию. Он позволяет найти функцию, производная которой равна заданной функции. Метод подстановки - это один из методов, которые можно использовать для вычисления неопределенных интегралов.

Метод подстановки основан на замене переменной в интеграле. Он позволяет привести интеграл к более простому виду, что упрощает его вычисление. Обычно в методе подстановки используется замена переменной, которая приводит к появлению дифференциала от новой переменной в интеграле.

Пример 1:

Рассмотрим интеграл ∫(x^2 + 1)dx. Мы можем применить метод подстановки, заменив x^2 + 1 на новую переменную u. Тогда x^2 + 1 = u, и dx = du.

Теперь интеграл примет вид ∫du. Интегрируя это выражение, получим u + C, где C - произвольная постоянная.

Возвращаясь к исходной переменной, получим x^2 + 1 + C.

Пример 2:

Рассмотрим интеграл ∫(3x^2 + 2x + 1)dx. Мы можем применить метод подстановки, заменив 3x^2 + 2x + 1 на новую переменную u. Тогда 3x^2 + 2x + 1 = u, и dx = du/(6x + 2).

Теперь интеграл примет вид ∫(du/(6x + 2)). Мы можем вынести константу 1/2 из знаменателя и записать интеграл как ∫(du/(3x + 1)).

Интегрируя это выражение, получим (1/3)ln|3x + 1| + C, где C - произвольная постоянная.

Пример 3:

Рассмотрим интеграл ∫(e^x)/(e^x + 1)dx. Мы можем применить метод подстановки, заменив e^x на новую переменную u. Тогда e^x = u, и dx = du/u.

Теперь интеграл примет вид ∫(du/u(u + 1)). Мы можем разложить дробь на простые слагаемые и записать интеграл как ∫(A/u + B/(u + 1))du.

Интегрируя это выражение, получим Aln|u| + Blog|u + 1| + C, где A, B - произвольные постоянные.

Возвращаясь к исходной переменной, получим Aln|e^x| + Blog|e^x + 1| + C.

Пример 4:

Рассмотрим интеграл ∫(x^3)/(x^4 + 1)dx. Мы можем применить метод подстановки, заменив x^4 + 1 на новую переменную u. Тогда x^4 + 1 = u, и dx = du/(4x^3).

Теперь интеграл примет вид ∫(du/(4x^3u)). Мы можем вынести константу 1/4 из знаменателя и записать интеграл как ∫(du/(x^3u)).

Интегрируя это выражение, получим (1/4)ln|u| + C, где C - произвольная постоянная.

Возвращаясь к исходной переменной, получим (1/4)ln|x^4 + 1| + C.

Пример 5:

Рассмотрим интеграл ∫(1 + sin(x))^2cos(x)dx. Мы можем применить метод подстановки, заменив 1 + sin(x) на новую переменную u. Тогда 1 + sin(x) = u, и dx = du/cos(x).

Теперь интеграл примет вид ∫(du/cos(x))^2cos(x). Мы можем сократить cos(x) в числителе и знаменателе и записать интеграл как ∫du^2.

Интегрируя это выражение, получим (1/3)u^3 + C, где C - произвольная постоянная.

Возвращаясь к исходной переменной, получим (1/3)(1 + sin(x))^3 + C.

Пример 6:

Рассмотрим интеграл ∫(x^2 + 1)/x^3dx. Мы можем применить метод подстановки, заменив x^3 на новую переменную u. Тогда x^3 = u, и dx = du/(3x^2).

Теперь интеграл примет вид ∫(du/(3x^2u)). Мы можем вынести константу 1/3 из знаменателя и записать интеграл как ∫(du/(x^2u)).

Интегрируя это выражение, получим (1/3)ln|u| + C, где C - произвольная постоянная.

Возвращаясь к исходной переменной, получим (1/3)ln|x^3| + C.

Пример 7:

Рассмотрим интеграл ∫(x^2 + 1)/(x^4 + 1)dx. Мы можем применить метод подстановки, заменив x^4 + 1 на новую переменную u. Тогда x^4 + 1 = u, и dx = du/(4x^3).

Теперь интеграл примет вид ∫(du/(4x^3u)). Мы можем вынести константу 1/4 из знаменателя и записать интеграл как ∫(du/(x^3u)).

Интегрируя это выражение, получим (1/4)ln|u| + C, где C - произвольная постоянная.

Возвращаясь к исходной переменной, получим (1/4)ln|x^4 + 1| + C.

Пример 8:

Рассмотрим интеграл ∫(x^2 + 1)/(x^3 + 1)dx. Мы можем применить метод подстановки, заменив x^3 + 1 на новую переменную u. Тогда x^3 + 1 = u, и dx = du/(3x^2).

Теперь интеграл примет вид ∫(du/(3x^2u)). Мы можем вынести константу 1/3 из знаменателя и записать интеграл как ∫(du/(x^2u)).

Интегрируя это выражение, получим (1/3)ln|u| + C, где C - произвольная постоянная.

Возвращаясь к исходной переменной, получим (1/3)ln|x^3 + 1| + C.

Пример 9:

Рассмотрим интеграл ∫(x^2 + 1)/(x^4 - 1)dx. Мы можем применить метод подстановки, заменив x^4 - 1 на новую переменную u. Тогда x^4 - 1 = u, и dx = du/(4x^3).

Теперь интеграл примет вид ∫(du/(4x^3u)). Мы можем вынести константу 1/4 из знаменателя и записать интеграл как ∫(du/(x^3