Question

Доказать, что 43633^3+10695^3 делится на 24

Answer 1

$43633^{3} +10695^{3} = (43633+10695)(43633^{2} -43633*10695+10695^{2} ) \\ 54328*(43633^{2} -43633*10695+10695^{2} )$
Число делится на 8, когда нули или три последние цифры составляют число, делящееся на 8. Следовательно, 54328 делится на 8. Т.к. это один из множителей выражения, то и всё выражение делится на 8.
Всё выражение делится на 3, т.к. 43633 в кубе делится на 3 и 10695 в кубе делится на 3. Если сложить 2 числа, которые делятся на 3, то сумма тоже будет делиться на 3.
Выражение делится на 8 и на 3, следовательно, оно делится на 24.

Answer 2

Чтобы доказать, что число 43633^3 + 10695^3 делится на 24, мы должны показать, что оно делится и на 8, и на 3.

Для начала рассмотрим деление на 8. Чтобы число было кратно 8, последние три цифры в его десятичной записи должны быть кратны 8. В этом случае, мы можем возвести последние три цифры числа 43633 и 10695 в куб и проверить, что сумма кубов кратна 8.

43633 % 1000 = 633 633^3 % 8 = 1^3 % 8 = 1

10695 % 1000 = 695 695^3 % 8 = 7^3 % 8 = 7

1 + 7 = 8, что делится на 8. Таким образом, число 43633^3 + 10695^3 делится на 8.

Теперь рассмотрим деление на 3. Чтобы число было кратно 3, сумма его цифр должна быть кратна 3. Мы можем проверить, что сумма цифр числа 43633 и 10695 кратна 3, а значит и сумма их кубов будет кратна 3.

4 + 3 + 6 + 3 + 3 = 19 1 + 9 = 10 1 + 0 = 1

1 + 0 + 6 + 9 + 5 = 21 2 + 1 = 3

1 + 3 = 4, что не делится на 3. Таким образом, число 43633^3 + 10695^3 не делится на 3.

Итак, мы доказали, что число 43633^3 + 10695^3 делится на 8, но не делится на 3. Поскольку 24 = 8 * 3, то оно делится на 24.