Question

Вычислить неопределенный интеграл: x^2dx/e^(x^3-1)

Answer 1

$\int \frac{x^2dx}{e^{x^3-1}} = \int x^2e^{1-x^3}dx= \frac{1}{3} \int e^{1-x^3}dx^3=-\frac{1}{3} \int e^{1-x^3}d(1-x^3)= \\ =-\frac{1}{3} e^{1-x^3}$

Answer 2

Для вычисления неопределенного интеграла ∫x^2dx/e^(x^3-1) можно использовать метод замены. Пусть u=x^3-1, тогда du=3x^2dx и dx=du/3x^2. Тогда интеграл принимает вид:

∫x^2dx/e^(x^3-1) = ∫(1/3)e^u du

Интегрируя по частям, получаем:

∫(1/3)e^u du = (1/3)e^u - ∫(1/3)e^u du

Складывая и вычитая одно и то же слагаемое, получаем:

∫(1/3)e^u du = (1/3)e^u - ∫(1/3)e^u du + (1/3)e^u - (1/3)e^u

Группируя слагаемые, получаем:

∫(1/3)e^u du = (2/3)e^u - ∫(1/3)e^u du - (1/3)e^u

Вынося общий множитель, получаем:

∫(1/3)e^u du = (1/3)e^u(2 - 1 - ∫e^u du)

Интегрируя e^u, получаем:

∫(1/3)e^u du = (1/3)e^u(2 - 1 - e^u)

Возвращаясь к исходной переменной, получаем:

∫x^2dx/e^(x^3-1) = (1/3)e^(x^3-1)(2 - 1 - e^(x^3-1)) + C

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Вы можете проверить свой ответ с помощью онлайн калькуляторов, например, [Wolfram|Alpha](https://ru.wolframalpha.com/calculators/integral-calculator) или [Mathway](https://www.mathway.com/Calculator/integral-calculator). Они также могут показать вам пошаговое решение и график функции.