Question

Log3 (x^2+7x-5) > 1 Помогите решить неравенство)

Answer 1

Log₃(x²+7x-5)>log₃3
x²+7x-5>3
x²+7x-8>0
(-∞;-8), (1; +∞)

Answer 2

Давайте решим неравенство \( \log_3(x^2 + 7x - 5) > 1 \).

Для начала, вспомним основные свойства логарифмов:

1. \( \log_a(b) > c \) эквивалентно тому, что \( a^c < b \).

2. Если у нас есть логарифм с базой \( a \), а само выражение под логарифмом равно \( b \), то это можно записать как \( \log_a(b) = c \) эквивалентно \( a^c = b \).

Теперь применим эти свойства к вашему неравенству:

\[ \log_3(x^2 + 7x - 5) > 1 \]

Эквивалентно:

\[ 3^1 < x^2 + 7x - 5 \]

Упростим неравенство:

\[ 3 < x^2 + 7x - 5 \]

Приравняем нулю и решим квадратное уравнение:

\[ x^2 + 7x - 5 - 3 = 0 \]

\[ x^2 + 7x - 8 = 0 \]

Теперь найдем корни уравнения. Можно воспользоваться квадратным корнем:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где \( a = 1, b = 7, c = -8 \).

\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)} \]

\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2} \]

\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{2} \]

\[ x = \frac{-7 \pm 9}{2} \]

Таким образом, у нас два корня: \( x = -8 \) и \( x = 1 \).

Теперь разберемся, в каких интервалах неравенство выполняется. Мы знаем, что неравенство выполняется, когда \( 3 < x^2 + 7x - 5 \), то есть в интервалах между корнями уравнения.

Таким образом, решение неравенства:

\[ x \in (-\infty, -8) \cup (1, +\infty) \]

Таким образом, неравенство \( \log_3(x^2 + 7x - 5) > 1 \) выполняется для всех значений \( x \), принадлежащих интервалам \((- \infty, -8)\) и \((1, +\infty)\).