Question

Докажите, что произведение: а) двух последовательных целых чисел делится на 2; б)трех последовательных целых чисел делится на 6; в) четырех последовательных целых чисел делится на 24

Answer 1

Как-то так...) Надеюсь всё понятно.

Answer 2

Доказательство:

а) Пусть у нас есть два последовательных целых числа: n и n+1.

Произведение этих чисел равно n * (n + 1).

Так как n и n+1 являются последовательными целыми числами, то одно из них обязательно будет четным, а другое - нечетным.

Если n четное, то n + 1 будет нечетным. В этом случае произведение n * (n + 1) будет делиться на 2, так как один из множителей (n) будет четным.

Если n нечетное, то n + 1 будет четным. В этом случае также произведение n * (n + 1) будет делиться на 2, так как один из множителей (n + 1) будет четным.

Таким образом, произведение двух последовательных целых чисел всегда делится на 2.

б) Пусть у нас есть три последовательных целых числа: n, n+1 и n+2.

Произведение этих чисел равно n * (n + 1) * (n + 2).

Из предыдущего доказательства мы знаем, что произведение двух последовательных целых чисел делится на 2.

Поэтому, чтобы доказать, что произведение трех последовательных целых чисел делится на 6, мы должны показать, что оно делится на 3.

Рассмотрим три возможных случая:

1) Если n делится на 3, то n + 1 и n + 2 не делятся на 3. В этом случае, произведение n * (n + 1) * (n + 2) делится на 3.

2) Если n + 1 делится на 3, то n и n + 2 не делятся на 3. В этом случае, произведение n * (n + 1) * (n + 2) делится на 3.

3) Если n + 2 делится на 3, то n и n + 1 не делятся на 3. В этом случае, произведение n * (n + 1) * (n + 2) делится на 3.

Таким образом, произведение трех последовательных целых чисел всегда делится на 6.

в) Пусть у нас есть четыре последовательных целых числа: n, n+1, n+2 и n+3.

Произведение этих чисел равно n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3).

Из предыдущего доказательства мы знаем, что произведение трех последовательных целых чисел делится на 6.

Поэтому, чтобы доказать, что произведение четырех последовательных целых чисел делится на 24, мы должны показать, что оно делится на 4 и на 3.

Мы уже показали, что произведение трех последовательных целых чисел делится на 6. Кроме того, если число делится на 2, то оно также делится на 4.

Таким образом, произведение четырех последовательных целых чисел всегда делится на 24.

Таким образом, мы доказали, что произведение двух последовательных целых чисел делится на 2, произведение трех последовательных целых чисел делится на 6, а произведение четырех последовательных целых чисел делится на 24.