Question

Парабола проходит через точки K(0;-5), L(4;3), M(-3;10). Найдите координаты ее вершины.

Answer 1

ax^2+bx+c = 0 - общий вид квадратного уравнения, задающего параболу.

Если данная парабола проходит через точки K, L, M, то:

$\begin{cases} c = -5\\16a+4b+c=3\\9a-3b+c=10 \end{cases}$ 

$\left \{ {{16a+4b=8 (:4)} \atop {9a-3b=15(:3)}} \right.$ 

$\left \{ {{4a+b=2} \atop {3a-b=5}} \right.$ 

7a=7

a = 1

b = -2

$\begin{cases} a = 1\\b=-2\\c=-5 \end{cases}$ 

Т.о., уравнение параболы:

x^2-2x-5=0

Вершина:  х = $\frac{-b}{2a} = \frac{2}{2} = 1$

y = 1-2-5 = -6

Ответ: А(1;-6) - вершина параболы 

Answer 2

Конечно, чтобы найти координаты вершины параболы, нужно воспользоваться её общим уравнением в виде \(y = ax^2 + bx + c\).

Поскольку парабола проходит через три точки, мы можем составить систему уравнений, подставив координаты этих точек в общее уравнение параболы.

1. Подставим координаты точки \(K(0;-5)\): \(y = ax^2 + bx + c\) \(-5 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c\) \(-5 = c\)

2. Подставим координаты точки \(L(4;3)\): \(y = ax^2 + bx + c\) \(3 = a \cdot 4^2 + b \cdot 4 - 5\) \(3 = 16a + 4b - 5\) \(16a + 4b = 8\) \(4a + b = 2\)

3. Подставим координаты точки \(M(-3;10)\): \(y = ax^2 + bx + c\) \(10 = a \cdot (-3)^2 + b \cdot (-3) - 5\) \(10 = 9a - 3b - 5\) \(9a - 3b = 15\) \(3a - b = 5\)

Теперь у нас есть система из трёх уравнений:

\(\begin{cases} 4a + b = 2 \\ 3a - b = 5 \\ c = -5 \end{cases}\)

Давай решим эту систему. Для начала, добавим уравнения 1 и 2, чтобы избавиться от переменной \(b\):

\(\begin{cases} 4a + b = 2 \\ 3a - b = 5 \\ \end{cases}\)

Сложим эти два уравнения: \(7a = 7\)

\(a = 1\)

Теперь, найдем значение \(b\) из уравнения \(4a + b = 2\): \(4 \cdot 1 + b = 2\) \(b = -2\)

Таким образом, мы нашли значения \(a\) и \(b\). Теперь подставим их в уравнение \(y = ax^2 + bx + c\) для нахождения \(c\):

\(y = x^2 - 2x - 5\)

Чтобы найти координаты вершины параболы, воспользуемся формулой \(x = -\frac{b}{2a}\):

\(x = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1\)

Теперь найдем значение \(y\) при \(x = 1\):

\(y = 1^2 - 2 \cdot 1 - 5 = -1 - 2 - 5 = -8\)

Итак, координаты вершины параболы: \(V(1, -8)\).