Question

Построить график функции, указать её область определения и множество значений. Выяснить. является ли функция возрастающей(убывающей), является ли функция ограниченной, принимает ли она наибольшее(наименьшее) значение: y=-(x-2)^3-1

Answer 1

Кубическая парабола
Область определения-множество R
Множество значений- множество R
Ф-ция является возрастающей на всей действительной оси
ф-ция не является ограниченной
ф-ция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения

Answer 2

Для начала, построим график функции y = -(x-2)^3-1. Затем определим область определения и множество значений функции, а также выясним, является ли функция возрастающей или убывающей, ограниченной, и принимает ли она наибольшее или наименьшее значение.

Построение графика функции

Для построения графика функции y = -(x-2)^3-1, мы можем использовать методы математического анализа или воспользоваться программами для построения графиков, такими как Matplotlib в Python.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Создаем массив значений x
x = np.linspace(-10, 10, 100)

# Вычисляем значения y
y = -(x - 2) ** 3 - 1

# Построение графика
plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График функции y = -(x-2)^3-1')
plt.grid(True)
plt.show()

Получим следующий график:


Область определения и множество значений

Область определения функции - это множество всех допустимых значений аргумента x, для которых функция определена. В данном случае, функция y = -(x-2)^3-1 определена для любого значения x.

Множество значений функции - это множество всех возможных значений функции y при заданных значениях x. Для данной функции, множество значений неограничено. Функция может принимать любое значение в пределах отрицательной бесконечности до -1.

Возрастание или убывание функции

Чтобы определить, является ли функция возрастающей или убывающей, мы можем проанализировать ее производную. Если производная положительна на всей области определения функции, то функция является возрастающей. Если производная отрицательна на всей области определения функции, то функция является убывающей.

Возьмем производную функции y = -(x-2)^3-1 и проанализируем ее знак:

import sympy as sp

# Определение переменной x
x = sp.symbols('x')

# Определение функции
f = -(x - 2) ** 3 - 1

# Вычисление производной
f_prime = sp.diff(f, x)

# Анализ знака производной
f_prime

Получим производную функции: -3(x - 2)^2. Знак производной зависит от значения выражения (x - 2)^2. Здесь мы видим, что это выражение всегда неотрицательно (так как это квадрат), и оно равно нулю только при x = 2. Следовательно, производная функции отрицательна для всех значений x, отличных от 2. Это означает, что функция y = -(x-2)^3-1 убывает на всей своей области определения.

Ограниченность функции

Функция является ограниченной, если существуют такие числа M и N, что для всех значений x в области определения функции, M ≤ y ≤ N.

В данном случае, функция y = -(x-2)^3-1 не является ограниченной. Поскольку множество значений функции неограничено, она будет принимать значения отрицательной бесконечности до -1.

Наибольшее и наименьшее значение функции

Функция y = -(x-2)^3-1 не имеет наибольшего значения, так как она не ограничена сверху. Однако, наименьшее значение функции можно найти, вычислив предел функции при x стремящемся к бесконечности.

# Вычисление предела функции при x -> бесконечности
limit_at_infinity = sp.limit(f, x, sp.oo)
limit_at_infinity

Получим предел функции при x стремящемся к бесконечности: -oo (минус бесконечность). Таким образом, наименьшее значение функции равно отрицательной бесконечности.

Таким образом, функция y = -(x-2)^3-1 является убывающей, неограниченной, и не имеет наибольшего значения. Она принимает наименьшее значение, равное отрицательной бесконечности.