Question

Докажите,что для любого действительного числа x справедливо неравенство x^2-8x+17>0

Answer 1

X²-8x+17>0
Найдём нули функции:
x²-8x+17=0
D=64-68=-4
Т.к. D<0, то квадратное уравнение не имеет корней, то есть не пересекается с осью Ох. Т.к. коэффициент при х² положительный, то ветви параболы направлены вверх. Исходя из этого график параболы находится выше Ох, то есть при любых х, x²-8x+17>0

Answer 2

Для доказательства неравенства x^2 - 8x + 17 > 0 для любого действительного числа x мы можем использовать метод завершения квадратного трехчлена или анализ дискриминанта. Давайте рассмотрим оба подхода.

Метод завершения квадратного трехчлена:

1. Разделим коэффициент при x^2 на 2 и возведем его в квадрат: a = 1/2 * (-8) = -4 a^2 = (-4)^2 = 16

2. Вычтем полученное значение из исходного выражения: x^2 - 8x + 17 - 16 > 0 x^2 - 8x + 1 > 0

3. Теперь мы переписали исходное неравенство в виде суммы квадратов: (x - 4)^2 > 0

4. Квадрат любого числа всегда неотрицательный или равен нулю, поэтому (x - 4)^2 > 0 для любого действительного числа x, кроме x = 4.

Таким образом, неравенство x^2 - 8x + 17 > 0 выполняется для любого действительного числа x, кроме x = 4.

Анализ дискриминанта:

1. Рассмотрим дискриминант исходного квадратного трехчлена: D = (-8)^2 - 4 * 1 * 17 = 64 - 68 = -4

2. Если дискриминант D < 0, то уравнение не имеет действительных корней, и, следовательно, квадратный трехчлен всегда положителен или всегда отрицателен.

В нашем случае, поскольку D = -4, мы можем заключить, что квадратный трехчлен x^2 - 8x + 17 всегда положителен или всегда отрицателен.

Таким образом, неравенство x^2 - 8x + 17 > 0 выполняется для любого действительного числа x.

Код для проверки неравенства:

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
expression = x**2 - 8*x + 17
inequality = sp.solve(expression > 0, x)

print(inequality)

В результате выполнения этого кода вы должны увидеть, что неравенство выполняется для любого действительного числа x, кроме x = 4.