Question

Упростите выражения:а) sin(a+60)+sin(a-60)б)cos(30+a)-cos(30-a)

Answer 1

а)sina+sqrt3/2+sina-sqrt3/2=2sina

b)sqrt3/2+cosa-sqrt3/2+cosa=2cosa

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое выражение по очереди и упростим их.

а) \( \sin(a + 60) + \sin(a - 60) \):

Используем формулу сложения синусов: \[ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \]

Применяем формулу к нашему выражению: \[ \sin(a + 60) + \sin(a - 60) = \sin a \cos 60 + \cos a \sin 60 + \sin a \cos(-60) + \cos a \sin(-60) \]

Так как \(\cos(-x) = \cos x\) и \(\sin(-x) = -\sin x\), мы можем упростить выражение: \[ \sin(a + 60) + \sin(a - 60) = \sin a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos a \cdot \frac{1}{2} + \sin a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos a \cdot \frac{1}{2} \]

Группируем подобные члены: \[ \sin(a + 60) + \sin(a - 60) = 2 \sin a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Упрощаем: \[ \sin(a + 60) + \sin(a - 60) = \sqrt{3} \sin a \]

б) \( \cos(30 + a) - \cos(30 - a) \):

Используем формулу разности косинусов: \[ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \]

Применяем формулу к нашему выражению: \[ \cos(30 + a) - \cos(30 - a) = \cos 30 \cos a + \sin 30 \sin a - \cos 30 \cos(-a) - \sin 30 \sin(-a) \]

Учитывая, что \(\cos(-x) = \cos x\) и \(\sin(-x) = -\sin x\), упрощаем выражение: \[ \cos(30 + a) - \cos(30 - a) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos a + \frac{1}{2} \sin a - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos a + \frac{1}{2} \sin a \]

Группируем подобные члены: \[ \cos(30 + a) - \cos(30 - a) = \sin a \]

Таким образом, упрощенные формы данных выражений: а) \( \sin(a + 60) + \sin(a - 60) = \sqrt{3} \sin a \) б) \( \cos(30 + a) - \cos(30 - a) = \sin a \)